2026年小升初数学考点专项训练--考点74：计数原理

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【例1】(列举法)用1～9这9个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是8的倍数。这三个三位数的和最小是多少？
【例2】(排列组合)有些五位数的各数位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两数位数字的差(大减小)都是1。这样的五位数共有多少个？
【例3】一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同。将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数？
【例4】王叔叔记得李叔叔的七位电话号码的前五位数：76045□□，还记得其中最大数字是7，各个数字又不重复，但忘记最后两位数字是什么了，王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打多少次？
【例5】写有1，4，16，64，256，1024的卡片各两张，共12张卡片，从这12张卡片中每次取若干个数(一个或者多个)求和，一共可以得到种可能的和，如果把这些和从小到大排列起来，其中第50个数是多少？
【例6】如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两边的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。
下列判断：(1)5个出口的出水量相同；(2)2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；(3)1，2，3号出水口的出水量之比为1:4:6;(4)若净化材料损耗的速度与流经其表面的水量成正比，则更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有( )。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例7】有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒?
1.【24广大附入学3】若把英语单词hell的字母排列位置写错了，则可能出现的错误共有( )种。
A.119 B.36 C.59 D.48
2.【23广大附入学1】用0，2，3，5这四个数字可以组成个不同的没有重复数字的四位数，组成的所有四位数按从大到小的顺序依次排列后，5032是第版图书 个。
3.【23广大附大奥入学3】用0，1，2，3，4可以组成_____个不同的五位数(每个数字最多用一次)。
4.【23广大附大奥入学1】如图是一个4×3棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上。共有______种不同的放法。
5.【24广大附黄埔入学1】有一只蜥蜴和一只大象，它们年龄不同并且今年都不超过80岁，去年蜥蜴的年龄是大象年龄的整数倍，今年蜥蜴的年龄还是大象年龄的整数倍。蜥蜴和大象的年龄有_____种可能的情况。
6.【24广大附黄埔入学2】有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数字1的1张，标有数字2的2张，标有数字3的3张，标有数字4的3张。把这9张圆形纸片如图所示放置在一起，但标有相同数字的纸片不许靠在一起，如果M位置上放置标有数字2的纸片，一共有( )种不同的放法。
A.6 B.8 C.10 D.12
7.【23广大附黄埔入学3】能被5和6整除，且数字中至少有一个6的三位数有 个。
8.【23执信入学】现有2克、3克、6克的砝码各一个，规定天平左边放物体，右边放砝码，那么在天平上能称出_________种不同质量的物体。
9.【24白云实验入学2】王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复。王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打________次。
10.【24白云实验入学2】有4枚1元的硬币和8枚5角的硬币，现在要取4元钱去买一本杂志，共有_________种取法。
11.【22白云实验入学2】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如3二果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有____种。
12.【24金广实验入学】五对夫妻围成一圈，使每对夫妻二人都相邻，有______种排法。
13.【22广大附入学】用1，3，5，7，9这五个数，可以排出60个不同的三位数，把这些数按从大到小排列，第58个数是 。
14.【24广大附大奥入学】体育课每星期上两节，两节课的安排要满足如下要求：①每天只能上一节；②不能连续两天都有体育课；③每天可以在1～6节的任意一节上这门课；④星期六和星期日不能安排。则这门课共有_______种安排方式。
15.【23广大附黄埔入学3】王老师和10位同学玩老鹰捉小鸡游戏，他们轮流每大都当一回鸡妈妈，则鸡妈妈共有_______种不同的选择。
16.【23广大附大奥入学1】某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块。试说明：最多能涂成多少种不同的积木块?(7分)
17.【24金广实验入学2】有6张电影票如图所示，撕成相连的3张，共有( )种不同的撕法。
A.10 B.8 C.6 D.4
考点74：计数原理参考答案
【例1】(列举法)用1～9这9个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是8的倍数。这三个三位数的和最小是______。
【答案】1152 【解析】每个三位数都是8的倍数，而8又是4的倍数，则每个三位数也是4的倍数，其后两位一定是4的倍数，且每个三位数的个位为偶数，应为2，4，6，8，满足后两位是4的倍数的数规律如下：
若个位为2，应为12，32，52，72，92，即奇2。
若个位为4，应为04，24，44，64，84，即偶4。
若个位为6，应为16，36，56，76，96，即奇6。
若个位为8，应为08，28，48，68，88，即偶8。
若使一个三位数和最小，则每一个三位数应尽可能小，且有一个三位数的十位为偶数。再加上个位的3个偶数，1～9中的4个偶数都已用完，则这三个三位数的百位都为奇数，最小为1，3，5，而有两个三位数的个位为2和6，这样或只能为84或48，若后两位为48，百位必须为偶数，这样偶数就不够了，则这个三位数一定为奇84，这样三个三位数百位为1，3，5，个位为2，4，6，则十位为7，8，9，经分析，这三个三位数为176，384，592;176，392，584;192，376，584;192，384，576。无论哪三个三位数，和都为(1+3+5)×100+(7+8+9)×10+2+4+6=900+240+12=1152。
【例2】(排列组合)有些五位数的各数位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两数位数字的差(大减小)都是1。这样的五位数共有____个。
【例3】一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同。将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出____个能被11整除的六位数。
【答案】71
【解析】设这个六位数为，由于其能被11整除，则a+c+e与b+d+f的差是11的倍数，a，c，e的位置可互换，b，d，f的位置可互换，每种都有3×2×1=6(个)，共6×6=36(个)，也可将a，c，e与b，d，f位置交换，也有36个，再减去原来的1个，共71个，即36+36－1=71(个)。
【例4】王叔叔记得李叔叔的七位电话号码的前五位数：76045□□，还记得其中最大数字是7，各个数字又不重复，但忘记最后两位数字是什么了，王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打 次。
【答案】6
【解析】3×2=6(次)
【点拨】最大的数是7，且各个数字不相同，则还有数字1，2，3可供选择，其中一个□有3种选择，另一个□有2种选择，共有3×2=6(种)。
【例5】写有1，4，16，64，256，1024的卡片各两张，共12张卡片，从这12张卡片中每次取若干个数(一个或者多个)求和，一共可以得到种可能的和，如果把这些和从小到大排列起来，其中第50个数是 。
【答案】728 102
【解析】对于每种数值的卡片，在求和过程中，有三种可能：不选、选1张，选2张，而只要加数中各种数值的卡片数量不完全一样，所得的和就不会相同，所以共有3⁶－1=728(种)可能的和。将不选对应到0，选一张对应到1，选2张对应到2，选数值1对应到个位，选数值4对应到十位，选数值16对应到百位……于是，每一种选法恰好对应到一个三进制数，如64+4+4+1对应到(1021)₃，而(1021)₃=1+2×3+3³=34，恰好说明这是能得到的和数从小到大的第34个，因而第50个数可以这样求：由50=(1212)₃，所以第50个数是64+2×16+4+2=102。
【例6】如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两边的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。
下列判断：(1)5个出口的出水量相同；(2)2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；(3)1，2，3号出水口的出水量之比为1:4:6;(4)若净化材料损耗的速度与流经其表面的水量成正比，则更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有( )。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】如图所示，
错误，5个出口出水量不同；
(2)正确，2号出口和4号出口出水量都是
(3)正确，::=1:4:6;
(4)正确，1:=8:1。
则(2)，(3)，(4)正确，应选C。
【例7】有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒?
【解析】5节的圆棒有：3×2×2×2×2=48(种)染法，
其中每种染法被算了两次，包括对称染法有：3×2×2×1×1=12(种),重复种数：12÷2=6,
非对称染法有：48－12=36(种),重复种数：36÷2=18(种),共有48－18－6=24(种)。
1.【24广大附入学3】若把英语单词hell的字母排列位置写错了，则可能出现的错误共有( )种。
A.119 B.36 C.59 D.48
【答案】C
【解析】5个字母全排列有5×4×3×2×1=120(种)排列方式，因为有2个字母是重复的，所以有120÷2=60(种)排列方式，除去一种正确写法，所以可能出现的拼写错误共有60－1=59(种)。
2.【23广大附入学1】用0，2，3，5这四个数字可以组成个不同的没有重复数字的四位数，组成的所有四位数按从大到小的顺序依次排列后，5032是第版图书 个。
【答案】18 5
【解析】最高位有3个数字选择，百位有3个数字选择，十位有2个数字选择，个位有1个数字选择，根据乘法原理，3×3×2×1=18(个)
千位上是5的四位数有：5320，5302，5230，5203，5032，5023，故5032是第5个。
3.【23广大附大奥入学3】用0，1，2，3，4可以组成_____个不同的五位数(每个数字最多用一次)。
【答案】96【解析】4×4×3×2×1=96(个)
4.【23广大附大奥入学1】如图是一个4×3棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上。共有______种不同的放法。
【答案】72
【解析】12×6=72
5.【24广大附黄埔入学1】有一只蜥蜴和一只大象，它们年龄不同并且今年都不超过80岁，去年蜥蜴的年龄是大象年龄的整数倍，今年蜥蜴的年龄还是大象年龄的整数倍。蜥蜴和大象的年龄有_____种可能的情况。
【答案】64
【解析】若大象去年1岁，则今年2岁，满足条件的蜥蜴的年龄去年和今年的年龄分别是(3岁、4岁)，(5岁、6岁)，(7岁、8岁)……(79岁、80岁)，共有39种。若大象去年2岁，今年3岁，满足条件的蜥蜴的年龄去年和今年的年龄分别是(8岁、9岁)，(14岁、15岁)，(20岁、21岁)……(74岁，75岁)共有12种。若大象去年3岁，今年4岁，满足条件的蜥蜴的年龄去年和今年的年龄分别是(15岁、16岁)，(27岁、28岁)，(39岁、40岁)，(51岁、52岁)，(63岁、64岁)，(75岁、76岁)共6种。若大象去年4岁，今年5岁，满足条件的蜥蜴去年与今年的年龄分别是(24岁、25岁)，(44岁、45岁)，(64岁、65岁)共3种。若大象去年5岁，今年6岁，满足条件的蜥蜴去年与今年的年龄分别是(35岁、36岁)，(65岁，66岁)共2种。若大象去年6岁，今年7岁，满足条件的蜥蜴去年和今年的年龄分别是(48岁、49岁)共1种。若大象去年7岁，今年8岁，满足条件的蜥蜴去年和今年的年龄是(63岁，64岁)共1种。则39+12+6+3+2+1+1=64(种)。
6.【24广大附黄埔入学2】有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数字1的1张，标有数字2的2张，标有数字3的3张，标有数字4的3张。把这9张圆形纸片如图所示放置在一起，但标有相同数字的纸片不许靠在一起，如果M位置上放置标有数字2的纸片，一共有( )种不同的放法。
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】首先考虑特殊数字2的位置，当2在左下角时，1如果放置在右下角，4和3有两种位置。如果1不放置在右下角的位置，只能放置在紧挨着右下角的两个位置，每种情况都有2种，所以有4种位置。
根据对称性，2在右下角的情况与前相同，则共有：(4+2)×2=12(种)。
7.【23广大附黄埔入学3】能被5和6整除，且数字中至少有一个6的三位数有个。
【答案】6
【解析】6=2×3，能被2，3，5整除，个位上必须是0，其他各数位上数字和是3的倍数，600，630，660，690，960，360，共6个满足题意。
8.【23执信入学】现有2克、3克、6克的砝码各一个，规定天平左边放物体，右边放砝码，那么在天平上能称出_________种不同质量的物体。
【答案】7
【解析】(1)只用一个砝码，可以称2克，3克，6克的物体，共3种称法；
(2)用两个砝码，可以如下：2克+3克=5克，2克+6克=8克，3克+6克=9克，共3种称法；
(3)用三个砝码一起称：2+3+6=11(克)，共有1种称法；
所以共有：3+3+1=7(种)
在天平上能称出7种不同质量的物体。
9.【24白云实验入学2】王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复。王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打________次。
【答案】6
【解析】从0～7还有1，2，3没有用上，可以是12，21，13，31，23，32，共6种可能。
10.【24白云实验入学2】有4枚1元的硬币和8枚5角的硬币，现在要取4元钱去买一本杂志，共有_________种取法。
【答案】5
【解析】①4枚一元的硬币；②3枚一元的硬币，2枚五角的硬币；③2枚一元的硬币，4枚5角的硬币；④1枚一元的硬币，6枚5角的硬币；⑤8枚五角的硬币。共有5种取法
11.【22白云实验入学2】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如3二果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有____种。
【答案】21
【解析】将14分成三个数之和，共有5组(3，3，8)，(4，4，6)，(4，5，5)，(3，4，7)，(3，5，6)，其中有3组，每组的数有3种排列方法，有2组，每组的三个数有6种排列方法。
共3×3+6×2=21(种)。
12.【24金广实验入学】五对夫妻围成一圈，使每对夫妻二人都相邻，有______种排法。
【答案】768
【解析】把5对夫妻看作5个整体，进行排列有：5×4×3×2×1=120(种)，因为形成的是一个首尾相接的圈，就会产生5个重复，实际排法有：120÷5=24(种)。每一对夫妻之间又可以相互换位置，每一对夫妻均有2种排法，有：2×2×2×2×2=32(种)。一共有：24×32=768(种)。
13.【22广大附入学】用1，3，5，7，9这五个数，可以排出60个不同的三位数，把这些数按从大到小排列，第58个数是 。
【答案】139
【解析】从小到大排列：135，137，139，153，157，159…从大到小排列，第58个数是139。
14.【24广大附大奥入学】体育课每星期上两节，两节课的安排要满足如下要求：①每天只能上一节；②不能连续两天都有体育课；③每天可以在1～6节的任意一节上这门课；④星期六和星期日不能安排。则这门课共有_______种安排方式。
【答案】216
【解析】由题意可知：这两节体育课可以安排在：周一和周三；周一和周四；周一和周五；周二和周四；周二和周五；周三和周五，共6种情况，因为每一节体育课都有6种情况(从第一节到第六节)，所以这门课共有6×6×6=216(种)安排方式。
15.【23广大附黄埔入学3】王老师和10位同学玩老鹰捉小鸡游戏，他们轮流每大都当一回鸡妈妈，则鸡妈妈共有_______种不同的选择。
【答案】11
【解析】10+1=11(人)有几人就有几种选择。
16.【23广大附大奥入学1】某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块。试说明：最多能涂成多少种不同的积木块?(7分)
【解析】2+2+2=6(种)最多能涂成6种不同的积木块。
17.【24金广实验入学2】有6张电影票如图所示，撕成相连的3张，共有( )种不同的撕法。
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】A
【解析】有2种，有2种，有2种，有2种，有2种，共2+2+2+2+2=10(种)。