2026年小升初数学考点专项训练--考点68：涂色问题与排水法求几何体体积

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1、把一个长acm，宽bcm，高c厘米长方体表面涂上颜色后分割成棱长是1cm的正方体，则：
三个面有颜色的有：8个(在顶点)；
二个面有颜色的有：(a－2+b－2+c－2)×4 个(在棱上)
一个面有颜色的有：[(a－2)(b－2)+(a－2)(c－2)+(b－2)(c－2)]×2 个(在面上)
没有颜色的有：(a－2)(b－2)(c－2)个(在内部)
2、类比长方体，棱长为a的正方体的涂色情况如下：
三个面有颜色的有：8个(在顶点)；
二个面有颜色的有：(a－2)×12 个(在棱上)
一个面有颜色的有：(a－2)(a－2)×6 个(在面上)
没有颜色的有：(a－2)(a－2)(a－2)个(在内部)
二、排水法求几何体体积
形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 ＝V现在－V原来
也可以 V物体 ＝S底面×(h现在－ h原来)
V物体 ＝S底面×h升高
【例1】将若干个体积相同的小正方体拼成一个大正方体，然后将大正方体的表面涂满红色。将大正方体拆开数一数，只有一面涂成红色的小正方体的个数恰好是只有两面涂成红色的小正方体的个数的两倍，那么这个大正方体共由_________个小正方体拼成。
【例2】给棱长为整数的大正方体的表面涂满颜色，然后将它分割成棱长是1的小正方体。这时只有一面涂色的小正方体与表面没有涂色的小正方体的个数之比为1:3，那么原来的大正方体棱长最小是____。
【例3】如图，这是棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体粘贴在一起形成的立体模型。把这个模型的表面全部染成了红色，然后把它切开成161个棱长为1厘米的小立方体，在这些小立方体中，三个面被染成红色的有 个，所有面都没被染成红色的有 个。
【例4】一个圆柱形容器中有足够量的水，在水中放入一个圆锥形铅锤后，水面上升了3厘米，已知容器内部底面的半径是铅锤底面半径的2倍，这个铅锤的高为多少厘米？
【例5】一个圆柱形的容器的底部放着一块正方体铅块，现在向容器内匀速注水，20秒时水恰好没过铅块的上表面，又过了1.5分钟，水注满了容器。若容器高度是24厘米，铅块高是6厘米，则容器底面积是多少平方厘米?

【例6】如图，在底面是边长为60厘米的正方体容器里，直立放着一个高100厘米，底面边长为18厘米的正方形的铁块，这时容器里的水深是50厘米，现在把铁块提出容器之后，水面下降( )厘米
1.【24天实入学1】一个正方体木块，棱长4厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体。小正方体中，只有一面是绿色的有_____块，没有一个面是绿色的有_____块。
2.【22广大附入学】把长，宽，高分别为8厘米，7厘米，5厘米的长方体表面涂色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，三面涂色的小正方体比两面涂色的小正方体少( )。
A.7 B.8 C. D.20%
3.【24广大附黄埔入学2】有55个棱长为1分米的正方体木块，在地面上摆成如图所示的形式，要在表面涂刷油漆，如果与地面接触的面不涂油漆，干后将小木块分开，则涂油漆的表面积与未涂油漆的表面积的比是___。
4.【2018·广附】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?
5.【2017·广雅】一个正方体金鱼缸的棱长是2dm，鱼缸内装有5L水，把一块珊瑚石放入水中，这时鱼缸内水深15cm。这块珊瑚石的体积是多少？

6.【2016·天省3】一个正方体的玻璃容器棱长是10厘米，先给这个容器注入4厘米的水，再把2个一样的钢球放进里面，容器的水上升了3厘米，一个钢球的体积是多少立方厘米?
7.【2019年·白广附3】在半径为20 厘米的圆柱形储水桶里，有一段截面为正方形的方钢浸没在水中，正方形的边长是4 厘米。当这段方钢从水中取出时，桶里的水面下降了0.5 厘米。这段方钢长多少厘米？(值取3)

8.【24广附大奥入学】一个棱长10 cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直着放入水中(铁块底面与容器底面平行)，铁块还没有完全浸没时，水就满了(如图)。这个铁块的体积是 cm³。
9.【24白云实验入学2】右侧扫码·视频讲解一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥体的底面积是多少平方厘米?(π取3.14)
考点68：涂色问题与排水法求几何体体积
一、涂色问题
1、把一个长acm，宽bcm，高c厘米长方体表面涂上颜色后分割成棱长是1cm的正方体，则：
三个面有颜色的有：8个(在顶点)；
二个面有颜色的有：(a－2+b－2+c－2)×4 个(在棱上)
一个面有颜色的有：[(a－2)(b－2)+(a－2)(c－2)+(b－2)(c－2)]×2 个(在面上)
没有颜色的有：(a－2)(b－2)(c－2)个(在内部)
2、类比长方体，棱长为a的正方体的涂色情况如下：
三个面有颜色的有：8个(在顶点)；
二个面有颜色的有：(a－2)×12 个(在棱上)
一个面有颜色的有：(a－2)(a－2)×6 个(在面上)
没有颜色的有：(a－2)(a－2)(a－2)个(在内部)
二、排水法求几何体体积
形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 ＝V现在－V原来
也可以 V物体 ＝S底面×(h现在－ h原来)
V物体 ＝S底面×h升高
【例1】将若干个体积相同的小正方体拼成一个大正方体，然后将大正方体的表面涂满红色。将大正方体拆开数一数，只有一面涂成红色的小正方体的个数恰好是只有两面涂成红色的小正方体的个数的两倍，那么这个大正方体共由_________个小正方体拼成。
【答案】216
【解析】设这个大正方体每条棱上的小正方体个数为n，
则只有一面涂成红色的小正方体的个数为(n-2)²×6，
只有两面涂成红色的小正方体的个数为(n-2)×12，所以(n-2)²×6=2(n-2)×12，
整理得(n-2)×6=2×12，解得：n=6，
所以拼成大正方体所需的小正方体个数为6×6×6=216(个)。
【例2】给棱长为整数的大正方体的表面涂满颜色，然后将它分割成棱长是1的小正方体。这时只有一面涂色的小正方体与表面没有涂色的小正方体的个数之比为1:3，那么原来的大正方体棱长最小是____。
【答案】20
【解析】设原来大正方体棱长为n，6(n-2)²:(n-2)³=1:3，
则6:(n-2)=1:3 ，n-2=18， n=20。
【例3】如图，这是棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体粘贴在一起形成的立体模型。把这个模型的表面全部染成了红色，然后把它切开成161个棱长为1厘米的小立方体，在这些小立方体中，三个面被染成红色的有 个，所有面都没被染成红色的有 个。
【答案】38
【解析】如图：染三个面的为图中标注的9个加底下的4个角，
共9+4=13(个)，
设染色的从前往后切成长5 cm，宽1 cm的5竖排，第一竖排有0个，
第二竖排如图，，有3×3=9(个)； 第三竖排如图，，3×4=12(个)
第四竖排如图，，有2+3×5=17(个)
第五竖排有0个。
则共有9+12+17=38(个)。
【例4】一个圆柱形容器中有足够量的水，在水中放入一个圆锥形铅锤后，水面上升了3厘米，已知容器内部底面的半径是铅锤底面半径的2倍，这个铅锤的高为多少厘米？
解：设铅锤底面半径为r，则容器底面半径为2r。
(厘米)
【例5】一个圆柱形的容器的底部放着一块正方体铅块，现在向容器内匀速注水，20秒时水恰好没过铅块的上表面，又过了1.5分钟，水注满了容器。若容器高度是24厘米，铅块高是6厘米，则容器底面积是多少平方厘米?
【解析】如图:前20秒由于有铅块占用一部分体积,所以高度升高快,后1.5分,由于没有占用体积,高度升高较慢但无论前后,因为注水量不变,设每秒注水量为1份,则前20秒注水量20份,后1.5分注水量90份,即前后体积比为2:9,而前后升高的高度比为6:18=1:3,则可根据比例关
系求出前后的底面积比为=2:3，
则1份为:6×6=36(cm2)
S圆=36×3=108(cm2)
【例6】如图，在底面是边长为60厘米的正方体容器里，直立放着一个高100厘米，底面边长为18厘米的正方形的铁块，这时容器里的水深是50厘米，现在把铁块提出容器之后，水面下降( 4.5 )厘米
1.【24天实入学1】一个正方体木块，棱长4厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体。小正方体中，只有一面是绿色的有_____块，没有一个面是绿色的有_____块。
【答案】4 8
【解析】只有一个面是绿色的有：4×6=24(个);没有一个面是绿色的有：2×4=8(个)。
【点拨】只有一个面是绿色的在表面中间的位置，没有一个面是绿色的在内部中间的位置。
2.【22广大附入学】把长，宽，高分别为8厘米，7厘米，5厘米的长方体表面涂色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，三面涂色的小正方体比两面涂色的小正方体少( )。
A.7 B.8 C. D.20%
【答案】A 【解析】(8-2)×4+(7-2)×4+(5-2)×4=24+20+12=56(个)
(56-8)÷56=48÷56=
3.【24广大附黄埔入学2】有55个棱长为1分米的正方体木块，在地面上摆成如图所示的形式，要在表面涂刷油漆，如果与地面接触的面不涂油漆，干后将小木块分开，则涂油漆的表面积与未涂油漆的表面积的比是___。
【答案】17:49【解析】55个棱长1分米的正方体的表面积之和为55×6×1×1=330(dm²)，涂油漆的面：上面25个面，前面15个面，后面15个面，左边15个面，右边15个面。涂漆表面积：(25+15×4)×1×1=85(dm²)，未涂漆表面积：330-85=245(dm²)，则涂油漆的表面积：未涂油漆的表面积=85:245=17:49。
4.【2018·广附】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?
【解析】3.14×(10÷2)2×2÷[3.14×(20÷2)2]=0.5(厘米)，
答：这时乙杯中的水位上升了0.5厘米。
5.【2017·广雅】一个正方体金鱼缸的棱长是2dm，鱼缸内装有5L水，把一块珊瑚石放入水中，这时鱼缸内水深15cm。这块珊瑚石的体积是多少？
【解析】15cm=1.5dm 5升=5dm3
2×2×1.5－5=1(dm3)
答：这块珊瑚石的体积是1 dm3。
6.【2016·天省3】一个正方体的玻璃容器棱长是10厘米，先给这个容器注入4厘米的水，再把2个一样的钢球放进里面，容器的水上升了3厘米，一个钢球的体积是多少立方厘米?
【解析】[10×10×(4+3)－10×10×4]÷2=150(立方厘米)
答:一个钢球的体积是150立方厘米。
7.【2019年·白广附3】在半径为20 厘米的圆柱形储水桶里，有一段截面为正方形的方钢浸没在水中，正方形的边长是4 厘米。当这段方钢从水中取出时，桶里的水面下降了0.5 厘米。这段方钢长多少厘米？(值取3)
【解析】正方体方钢的体积：
3×202×0.5=3×400×0.5=600(立方分米)，
这段方钢的长是：
600÷(4×4)=600÷16=37.5(厘米)；
答：这段方钢长37.5厘米。
8.【24广附大奥入学】一个棱长10 cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直着放入水中(铁块底面与容器底面平行)，铁块还没有完全浸没时，水就满了(如图)。这个铁块的体积是 cm³。
【答案】400
【解析】10×10×10－10×10×7=1000－700=300(cm³)，
300÷6×8=50×8=400(cm³)，
即这个铁块的体积是400cm³。
9.【24白云实验入学2】右侧扫码·视频讲解一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥体的底面积是多少平方厘米?(π取3.14)
【解析】3.14×6²×0.5=3.14×36×0.5=56.52(立方厘米)
56.52÷÷9=18.84(平方厘米)
圆锥体的底面积是18.84平方厘米。