2026年小升初数学考点专项训练--考点66：有关角的计算

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(1)三角形内角和为180度. (2)三角形外角等于与其不相邻外角之和；
如：外角∠ABF=∠1+∠3；
2.多边形的内角和与外角和
(1)n边形内角和为(n－2)×180° (2)多边形外角和为360°.
【例1】(1)如图1所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90°+∠A;
(2)如图2所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A;
(3)如图3所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系。
【例2】在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠ABC=70°，∠BCD=170°，则∠BAD=__________。
1.【23天省实验入学1】如果一个n边形的n条边都相等，且n个角也相等，就称为正n边形。现在把一个正n边形的中心固定，然后旋转84°后发觉与原来的正n边形重合，那么n的最小值等于 。
2.【23广附大奥入学3】如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点。
(1)若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，求∠A的度数；
(2)若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P，求证：∠MCP=90°－∠A;
(3)在(2)的条件下，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的平分线与∠NCB的平分线交于点Q(如图2)，试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明。
(图1)
(图2)
3.【23广附大奥入学3】在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB=PC。

考点66：有关角的计算参考答案
1、三角形的内角和及外角定理
(1)三角形内角和为180度.
(2)三角形外角等于与其不相邻外角之和；
如：外角∠ABF=∠1+∠3；
外角∠BCD=∠1+∠2；
外角∠CAE=∠2+∠3；
2.多边形的内角和与外角和
(1)n边形内角和为(n－2)×180°
(2)多边形外角和为360°.
【例1】(1)如图1所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90°+∠A;
(2)如图2所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A;
(3)如图3所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系。
【解析】(1)证明略
(2)证明略
(3)∠BOC=90°－∠A
【例2】在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠ABC=70°，∠BCD=170°，则∠BAD=__________。
【解析】作∠ABE=60°且AB=BE，
连接AE，DE。
易知，四边形BCDE为菱形
所以△AED是等腰三角形
因为∠AED=360°－60°－170
=130°
所以∠EAD=∠EDA=(180°－130°)÷2=25°
所以∠BAD=60°＋25°=85°
1.【23天省实验入学1】如果一个n边形的n条边都相等，且n个角也相等，就称为正n边形。现在把一个正n边形的中心固定，然后旋转84°后发觉与原来的正n边形重合，那么n的最小值等于 。
【答案】30°【解析】每条边所对的圆心角最大是(84，360)=12，所以n的最小值等于360°÷12=30°。
2.【23广附大奥入学3】如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点。
(1)若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，求∠A的度数；
(2)若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P，求证：∠MCP=90°－∠A;
(3)在(2)的条件下，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的平分线与∠NCB的平分线交于点Q(如图2)，试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明。
(1)【解析】140÷(3+4)×3=60(度)
【点拨】三角形一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和。
∠ACD=∠A+∠ABC=140°
(图1)
(图2)
(2)【解析】
证明：∠MCD是△MBC的外角
∠M=∠MCD－∠MBC
∠ACD是△ABC的外角
∠A=∠ACD－∠ABC
CM平分∠ACD，BM平分∠ABC
∠MCD=∠ACD，∠MBC=∠ABC
∠M=×(∠ACD－∠ABC)=∠A
CP⊥BM ∠MCP=90°－∠M=90°－∠A
(3)【解析】猜想。∠BQC=90°+∠A
证明：BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN 所以∠QBC=∠CBN，QCB=∠BCN
∠BQC=180°－(∠QBC+∠QCB)=180°－(∠CBN+∠BCN)=180°－×(180°－∠N)=90°+∠N
由(2)得∠M=∠A
根据轴对称性质∠M=∠N=∠A
∠BQC=90°+∠N=90°+∠A
3.【23广附大奥入学3】在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB=PC。
【解析】证明：连接AP，以AB为边在△ABC内作等边三角形ABD顶点D在BC边上。
AB=AD=BD
∠BAD=∠ADB=60°
∠DAC =(180°－60°－40°)－60°=20°
所以∠DAC=∠PCA
BP，CP是角平分线，AP平分∠BAC
∠PAC=∠BAC=×80°=40°=∠DCA
AC=CA
△PAC≌△DCA(ASA)
PC=AD=AB