初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用第3课时测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用第3课时测试题，文件包含人教版新教材数学八年级下册第20章勾股定理201勾股定理及其应用第3课时利用勾股定理作图原卷版docx、人教版新教材数学八年级下册第20章勾股定理201勾股定理及其应用第3课时利用勾股定理作图解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
第3课时利用勾股定理作图
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础题
知识点1 利用勾股定理在数轴上表示数
1．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
先由勾股定理求出的长．再根据点D的位置确定点D的坐标即可．
【详解】解：由题意可知，，
由勾股定理得到，
∴，
∵点D在x轴负半轴，
∴点D对应的实数为．
故答案为：．
2．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数．
【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是，
∴；
∵于点，，
∴是直角三角形，，
由勾股定理得：；
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
3．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ）
A．2.2B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长．
利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案．
【详解】解：∵点C的坐标为，点O在原点上，
∴，又
由勾股定理得：．
∴．
即数轴上点A表示的实数是，
故选：D．
4．如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理，无理数与数轴，掌握勾股定理，数轴上的点与实数一一对应是关键．
根据勾股定理得到，结合数轴上的点与实数一一对应即可求解．
【详解】解：点，在数轴上，其表示的实数分别为，
∴，
∵过点作，且，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故选：B．
知识点2 勾股定理与网格
5．如图所示的是一个围棋棋盘的局部．若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理在网格中的应用，解题关键是确定两棋子的横向、纵向间隔长度，再利用勾股定理计算两点间距离．
利用勾股定理计算黑白两棋子的距离，先确定两棋子在网格中的横向、纵向间隔数，再代入勾股定理公式计算．
【详解】解：观察网格，设黑棋子的位置为一个端点，白棋子为另一个端点，两棋子在网格中横向间隔个小正方形边长，纵向间隔个小正方形边长．
根据勾股定理，两棋子的距离为：．
故选：D．
6．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理的运算方法，即斜边的平方等于两直角边的平方和．本题分别计算各线段的长即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴长度为的是线段，
故选：B．
7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】D
【分析】先利用勾股定理计算出、的长度平方，再分三种情况讨论以、、为边构成直角三角形时可能的长度，最后在网格中找出满足条件的点的位置数量．
【详解】解：计算各边长度的平方：，．
分三种情况讨论：
情况：为斜边，、为直角边：
即．在网格中，从出发，水平或垂直移动个单位，有处．
情况：为斜边：
边长平方不能为负，此情况不成立．
情况：为斜边，、为直角边：
．
即．在网格中，满足的格点，有处．
∴点的位置如图所示．
∴满足条件的点共有处．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和网格中的点坐标计算，解题关键是分情况讨论直角三角形的斜边，通过计算边长平方确定的可能长度，再在网格中找到对应点．
8．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】A
【分析】首先确定的长度，再利用“以为圆心，为半径画弧”可知，接着结合网格确定的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算的长度．
【详解】解：如图，连接，
由网格图可知：，
∵以为圆心，为半径画弧，
∴．
在中，
．
∴．
故选：A ．
【点睛】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度．
9．如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
∴点所表示的数为：．
故答案为：．
10．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高.
【详解】解：设边上的高为，边上的高为，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
故选：D ．
11．已知，图、图中每个小正方形的边长均为．

(1)图中阴影正方形的边长为________，该边长介于两个相邻整数________和________之间；
(2)请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出图中阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数；
(3)请在图的的方格内作出边长为的正方形．
【答案】(1)，，；
(2)图见解析，点所表示的数是，点所表示的数是；
(3)见解析
【分析】()用勾股定理来计算阴影正方形的边；根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；
()利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可；
()根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可．
【详解】（1）解：阴影正方形的边长等于直角边为和的直角三角形的斜边， 边长，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由()知：阴影正方形的边长为，它的相反数是，
如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点，
∴，点所表示的数是，点所表示的数是；
（3）解：如图，取格点A、B、C、D，再顺次连接，
由()知：四边形为正方形，
∵每个小正方形的边长均为，
∴正方形的面积为：，
∴正方形的边长为， 则正方形即为所作．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键．
知识点3 勾股定理与图形的计算
12．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ．
【答案】3
【详解】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用x表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：设，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
则，
由勾股定理得，，
解得，
∴．
故答案为：3．
13．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是先利用勾股定理求出的长度，再结合等腰直角三角形的边角关系求的长．
由，用勾股定理求出；根据且，判定为等腰直角三角形；利用等腰直角三角形的性质求出，即点到的距离．
【详解】解：，
．
在中，由勾股定理得，
，
，
．
，
．
又，
是等腰直角三角形．
∵，,
，
∴．
故答案为：．
14．如图，在中，，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出底边的一半，再用勾股定理求出高．
过点作于点，由得；在中，由勾股定理求出的长度；最后根据三角形面积公式计算的面积．
【详解】解：过点A作 于点D，


在 中，由勾股定理得 ，
．
中档题
15．如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出的长．
先利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵点A表示的数为，
∴点E表示的数为，
故答案为：．
16．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
17．如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
连接，由题意可得，，，，，，再由勾股定理求出的长，的长，再求和即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，
∴，，，，，
∵，
∴，，
∴按此手势解锁一次的路径长为．
故答案为：
18．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
设的长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．
【详解】解：由已知可得，，，
∴，
设的长为x，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
即，
整理得，，
∴
∴
而矩形面积为：，
故答案为：．
19．毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为 ，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有 个．
【答案】
【分析】本题主要考查了探索坐标的规律、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标，利用勾股定理依次求出点、、的坐标，从中找出规律、根据规律写出点的坐标；根据规律可知点的横坐标是，纵坐标是，在到之间，被开方数中能写成与一个平方数乘积的有个，所以的同类二次根式有个．
【详解】解：点的坐标为，四边形是正方形，
，，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
四边形是长方形，
，，
，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
即点的坐标为；
由图可知：
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，
，
在到的所有横坐标中，有、、、、，共个的同类二次根式；
故答案为：，.
20．如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，二次根式性质的化简与求值，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理求得，，求得，，代入式子后根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由图可知，根据勾股定理：
，
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
．
故答案为：．
21．如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，设，则，
在中，，
∴ ，解得：．
故答案为：．
综合题
22．阅读小敏的数学日记，思考并解决问题．
任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____．
任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由．
任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____．
【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：4
【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．结合图形及正方形的面积公式，半圆的面积公式逐项推导即可得解．
【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1
，
即
故答案为：
任务二：结论仍成立，理由如下：
为直角三角形，如图2
，
即
任务三：设相交于点，如图：
则均为直角三角形，由勾股定理得：
又
即
又，，
，
故答案为：4
课堂检测
1．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离．
【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：．
故选：C．
2．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．6D．9
【答案】D
【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得，，
设，则，
在中，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：D．
3．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理，计算各条线段的长度，后判定它们的属性解答即可．
本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
，是无理数，符合题意；
故选：D．
4．如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度．
【详解】解：四边形为长方形，
，，
∴，
由折叠可知，，，，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
．
故选：D．
5．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“