人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用第1课时一课一练

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第1课时勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础题
知识点1勾股定理的认识
1．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，两个较大正方形的面积分别为64和113，则字母所代表的正方形的边长是 ．
3．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为、，若，，则 ．
4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若，则每个直角三角形的面积为（ ）
A．22B．24C．44D．88
5．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边为，请利用这个图形解决下列问题：
(1)请用图2验证勾股定理；
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，
①求的值；
②求的值．
知识点2 利用勾股定理进行计算
6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．5D．7
8．在中，，，，则的长为 ．
9．一个零件的形状如图所示，其中，工人师傅量得三边的尺寸分别为，，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．15cm
10．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．
（1）已知，求b；
（2）已知，求c；
（3）已知，求a．
11．如图，，，，．求的长．
12．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：．
中档题
13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
14．如图，分别以的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为，，．若，，则 ．
15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的周长为 ．
16．如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为 ．
17．一个直角三角形的三边长分别为6，，，则的值是（ ）
A．100B．10C．10或D．10或7
18．如图，在中，，，点C在直线上，于D，于E，，则 ．
19．如图，在中，，，为的中垂线，分别与、交于点、，连接，若，则 ．
综合题
20．我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年－公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为（ ）
A．28B．30C．32D．36
21．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．
小专题 构造直角三角形
22．等边的边长是，那么边上的高为（ ）．
A．B．C．D．
23．如图，中，，平分．已知，，则的长为（ ）
A．9B．13C．6D．12
24．如图，在中，，，，，垂足为，求的长．
25．如图，在中，，，，则BC的长是（ ）
A．13B．C．14D．
26．如图，等腰三角形ABC中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
27．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（ ）
A．B．C．5D．6
课堂检测
1．在中，．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．13，14，15B．3，4，6C．0.3，0.4，0.5D．6，8，10
3．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（ ）
A．10B．14C．28D．2
4．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．我国古代数学著作《九章算术》中第九章《勾股》对“勾股定理”表述如下：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即(a为勾，b为股，c为弦)．若“勾”为2，“股”为4，则下列各数中，与“弦”最接近的是( )
A．4.3B．4.4C．4.5D．4.6
6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离的长为（ ）
A．米B．300米C．200米D．100米
8．已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为（ ）
A．3B．C．3或D．6
9．已知中，，为直角边，为斜边．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．如图，在中，，是高．若，，求的长．