人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用第1课时课后复习题

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第1课时勾股定理的逆定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础题
知识点1 勾股定理的逆定理
1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10B．8，15，17C．1，，2D．2，2，
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形．
【详解】A. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ∵，，
∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意．
2．若三边满足，那么的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查的是非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用，先根据非负数的性质求出三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：∵，，，且，
∴，，，
∴，，，
∵，即，
∴是直角三角形，
故选：D
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可．
【详解】解：A、整理得由勾股定理逆定理，是直角三角形，且，该选项不符合题意；
B、由题意最大角为，不是直角三角形，该选项符合题意；
C、，又，
，，是直角三角形，该选项不符合题意；
D、设，，，则，，
，是直角三角形，且，该选项不符合题意；
故选：B．
4．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______．
【答案】
等腰直角三角形
【分析】本题考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，判断三边能否构成直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，得出三边关系，再作出判断．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵a，b，c是的三边长，
∴满足勾股定理且有两边相等，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)则_____，_____，_____；
(2)求证：．
【答案】(1)；；
(2)见解析
【详解】（1）解：依题意，，，
（2）解：∵
∴，
∴是直角三角形，．
6．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）是；（2）是；（3）是；（4）不是
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】（1），，
，
线段a，b，c组成的三角形是直角三角形；
（2），，
，
线段a，b，c组成的三角形是直角三角形；
（3），，
，
线段a，b，c组成的三角形是直角三角形；
（4），
，，
，
线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形；
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
7．如图，在中，点D在边上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形，利用勾股定理逆定理证明为直角三角形；
（2）在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，根据勾股定理直接求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴；
（2）解：∵，，，
∴．
知识点2 勾股数
8．五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意；
B、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意；
C、，，故包含两个直角三角形，故符合题意；
D、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
9．下列各数中，能与5，12组成一组勾股数的是（ ）
A．13B．C．13或D．10
【答案】A
【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股定理和勾股数的知识是解题的关键．勾股数是指三个正整数满足勾股定理，需检查选项是否为正整数且与5、12满足．
【详解】解：当5和12为直角边时，斜边，为正整数；
当12为斜边时，另一直角边，不是正整数；
∴ 只有13满足勾股数定义，
故选：A．
10．下列各组数据是勾股数的有（ ）
，，；，，；，，；，，；，，．
A．组B．组C．组D．组
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数，根据勾股数是三个正整数，且满足只需逐一检查每组数据是否均为正整数，并验证是否满足勾股定理即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由勾股数必须为正整数且满足，
∵，，是整数，且，
∴是勾股数，符合题意；
∵，，不是整数，
∴不是勾股数，不符合题意；
∵，，是整数，且，
∴不是勾股数，不符合题意；
∵，，中不是整数，
∴不是勾股数，不符合题意；
∵，，是整数，且，
∴是勾股数，符合题意；
综上可得：只有和是勾股数，共组，
故选：．
中档题
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用．
先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，即可求解的面积．
【详解】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，
∴由勾股定理得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故D错误，A、B、C正确，
故选：D．
12．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意．
故选：C．
13．下列选项中，正确的是（ ）
A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形
C．在中，若，则是直角三角形
D．的三边分别为，若，则是直角
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理和三角形内角和定理，对于A，要分两种情况：边长为8的边为直角边和边长为8的边为斜边，利用勾股定理可求出第三边的长；对于B、D，利用勾股定理的逆定理可进行判断；对于C，利用三角形内角和定理可进行判断．
【详解】解：A、当边长为8的边为直角边时，则第三边的长为，当边长为8的边为斜边时，则第三边的长为，原说法错误，不符合题意；
B、设这个三角形的三边长分别为，
∵，
∴该三角形是直角三角形，原说法正确，符合题意；
C、∵在中，，且，
∴，，
，
∴不是直角三角形，原说法错误，不符合题意；
D、若，则是直角，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
14．边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________．
【答案】3或12
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键．
根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解．
【详解】解：当斜边为5时，则
解得或（舍去），
此时边长为3，4，5，满足三角形条件．
当斜边为时，则
解得，
此时边长为12，13，5，满足三角形条件．
当斜边为时，则
解得（舍去）．
故或．
故答案为：3或12．
15．如图，在中，是的中点，交于点，连接，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，角平分线的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．
（）由已知可得是线段的垂直平分线，即得，再根据勾股定理的逆定理即可求证；
（）由得，再根据角平分线的判定定理可得，即得到，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的中点，交于点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：由（）知，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴点在的角平分线上，即平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．如图，，，，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质．
（1）利用勾股定理的逆定理求出即可得出结论；
（2）设的中点为N，连接，则为等腰直角三角形，求出，证明，可得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
是直角三角形；
（2）证明：设的中点为N，连接，
，
，是直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，
，
在和中，，
，
，
．
综合题
17．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．
过程如下：
这种分解因式的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)的形状是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了直角三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组、综合运用因式分解的几种方法是解题关键．
（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解；
（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成三个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：∵，
∴，
∴，
，
，，，
，
即，
的形状是直角三角形．
18．已知：，，．
(1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示）
(2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案）
(3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)60
(3)正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可；
（2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】（1）解：，
当时，
；
故答案为：；
（2）解：，，，
当时，，，，
，
这个三角形是直角三角形，且是斜边，
这个三角形的面积是，
故答案为：；
（3）解：小明的发现正确，理由如下：
，
，
当取大于1的整数时，、、为一组勾股数．
课堂检测
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先判断线段能否组成三角形，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可．
【详解】解：∵三角形三边需满足两边之和大于第三边；
∴A选项中，，不满足三边关系，不能组成三角形；
B选项中，∵；
∴不满足勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形；
C选项中，∵，即；
∴满足勾股定理的逆定理，能组成直角三角形；
D选项中，∵
∴不满足勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形
故选：C
2．已知三边长分别为a，b，c，且满足，则是（）
A．以为斜边长的直角三角形B．以为斜边长的直角三角形
C．以为最短边的锐角三角形D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题考查二次根式，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理．先由非负性求出a，b，c的值，再通过勾股定理逆定理判断三角形形状．
【详解】解：∵，，，
且，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴是以为斜边长的直角三角形．
故选：A．
3．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作轴，轴，根据题意证得，再根据全等三角形的性质可得，，又已知点的坐标，即可得点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作轴，轴，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
故选：．
4．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（ ）
①； ②，，；
③； ④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理．
通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一分析每个条件是否能判定为直角三角形即可．
【详解】解：①∵，
∴设，，（），
∵，
∴是直角三角形．
②∵，，，
∵，
∴不满足勾股定理逆定理，
∴不是直角三角形．
③∵，
∴设，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形．
④∵，且，
∴，
∴，，
∴是直角三角形．
综上，能判断是直角三角形的有①③④，共3个．
故选：C．
5．小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出____个直角三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此可求出能构成三角形的组合，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么该三角形是直角三角形，据此可确定能构成直角三角形的组合．
【详解】解：，，，，
，，，，
，，
∴能构成三角形的组合为，，，
，，，，
，
∵，，
，，
，，
，，
∴能构成直角三角形的组合为，，
∴一共能拼出2个直角三角形，
故答案为：2．
6．如图，在中，，，，若于D，则CD的长______．
【答案】/7.2
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解的长即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
7．如图，在中，，，D为边上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)84
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据，，，得，证明；
（2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵， ，，
∴，
∴，
∴的面积为：．
8．已知点．
(1)求的长度；
(2)判断是否为直角三角形；
(3)若点D在y轴上，且，求D的坐标．
【答案】(1)
(2)不是直角三角形
(3)或
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，割补法求图形面积，注意数形结合．
（1）由两点间的距离公式即可求解；
（2）由勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可；
（3）分两种情况：点D在正半轴与负半轴，利用割补法求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，
而，
∴，
即不是直角三角形；
（3）解：如图，分别过B、A作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
由A、B的坐标知，，，
，
当D在y轴正半轴上时，设，
则，
∵，
∴，
解得：，
即；
当点D在y轴负半轴上时，设，
则，
∵，
∴，
解得：，
即；
综上，点D的坐标为或．
9．如图，，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理.
连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
10．已知的三边分别是a、b、c．
(1)若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值．
(2)若，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)25
(2)等腰三角形或直角三角形
【分析】本题考查了完全平方公式的应用、平方的非负性、三角形三边关系及因式分解的应用．
（1）先将已知等式通过完全平方公式变形，再根据平方的非负性求出a、b的值，最后根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出周长的最大值；
（2）先对已知等式进行移项，然后通过因式分解将等式变形，再根据因式分解的结果判断的形状．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴且，
解得，，
根据三角形三边关系，可得，即，
∵c是正整数，
∴c的最大值为12，
∴周长的最大值为．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c是三角形的三边，
∴，
∴或，
当时，，此时是等腰三角形；
当时，，此时是直角三角形，
∴是等腰三角形或直角三角形．