初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用巩固练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用巩固练习，共12页。试卷主要包含了1勾股定理及其应用等内容，欢迎下载使用。
第 1课时 勾股定理及其验证
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 勾股定理的探究与验证
1. 在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a，b，c，则以下结论正确的是（ ）
A.b2=a2+c2 B.a2=b2+c2
C.c2=a2+b2 D.以上答案都不对
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系.请你利用图20-1-1对勾股定理(即下列命题)进行验证，从中体会数形结合思想.
已知:如图20-1-1,点 B,C,D 在一条直线上,∠B=∠D=∠ACE=90°,AB =CD=b,BC= DE = a,AC = EC = c.求证: a² + b2=c2.
知识点 2 利用勾股定理进行计算
3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则BC 的长为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.9
T3 变式)在平面直角坐标系中，点P(2，-4)到原点的距离等于 ( )
A.4 B.6 C.2 3 D.25
5.(2024攀枝花)已知一个直角三角形两直角边的长分别为 1 和 22,，则其斜边的长为
6. 如图 20-1-2, 在 △AB(中, ∠ACB = 90°分另以AC，AB 为边向外作正方形，面积分别为S₁，S₂.若 S1=3,S2=7,则BC=
7. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=4.
(1)若∠A=30°,则 BC= ,A C= ;
(2)若∠A=45°,则 BC= ,A C=
8. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.
(1)已知b=2,c=3,求a;
(2)已知a:c=3:5,b=32,求a,c.
规律方法综合练 训练思维
9.数学思想分类讨论若直角三角形的三边长分别为3,4,x,则x的值为 ( )
A.5 B.5或 7c. 7 D.2
10.下列各图中,不能证明勾股定理正确性的是（ ）
11. 如图20-1-4,以Rt△ABC 的两边AB,BC 为边向外所作正方形的面积分别是26 cm²，10 cm²，则以另一边 AC 为直径向外所作半圆的面积为 cm².
12.如图20-1-5,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D , A B =5 , B D =3 , C D = A D , 则 A C =
13. 如图20-1-6,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D 为 AB 的中点,过点 D 作ED⊥AB 交AC 于点E,求AE 的长.
典题变式 勾股树
方法指引
“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.
典例呈现
图20-1-7中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm,正方形 A,B,C的边长分别为6cm,5cm ,5cm,则正方形D的边长为 .
变式训练
1.(2025 天津南开区月考)图20-1-8中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为( )
A.36cm² B.18cm² C.81 cm² D.27cm²
2.(2025天津滨海新区期中)图20-1-9 中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A 的面积是15，B 的面积是12，C的面积是17，则D的面积为 ( )
A.16 B.18 C.20 D.22
第 2课时 勾股定理在实际生活中的应用
A知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 勾股定理的一般应用
1. 如图20-1-10，为了测出湖两岸A， B之间的距离，观测者在C 处设桩，使△ABC 恰好为一个直角三角形(∠ABC=90°).通过测量得到AC的长为10km，BC 的长为8km，那么A， B 之间的距离为 ( )
A.8km B.6km
2.宽为1.5m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是 ( )
A.①号 B.②号
C.③号 D.均不能通过
3.如图20-1-12，一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度为18m，倒下后树顶落在离大树根部12m处。这棵大树在离地面 m处折断( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图20-1-13，一根电线杆在离地面12米处各用15 米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是 .
5.如图20-1-14，数学活动课上，老师组织同学们测量学校旗杆的高度 AC，同学们发现将系在旗杆顶端的绳子拉直垂到地面后还多1米，同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刚好接触地面，求旗杆的高度.(旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计)
知识点2 梯子问题
6. (2025 连云港)如图20-1-15，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h 为 m.
7.长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上.
(1)若梯子底端B 离墙脚O0.7米，则这个梯子的顶端A 距地面有多高?
(2)在(1)的条件下，若梯子的顶端下滑了0.4米，则梯子的底端在水平方向滑动了几米?
规律方法综合练 训练思维
8.如图20-1-17是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是 ( )
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15
C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
9.如图20-1-18是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前 推 送 3m(水 平 距 离 B C =3m )时,秋千的踏板离地的垂直高度 BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索 AD 的长度为 m.
10.新情境数学文化 下面是一个“荷花问题”：
平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲.
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边.
渔人观看忙向前，花离原位二尺远.
能算诸君请解题，湖水如何知深浅?
请你用学过的数学知识回答这个问题.
典题变式 勾股定理与方程思想——单、双勾股列方程
方法指引
当有以下两种情形时可利用勾股定理构造方程模型解之.
(1)单勾股列方程：已知一个直角三角形的一条边，又知另外两条边之间的关系时，根据勾股定理列方程；
(2)双勾股列方程：当两个直角三角形具有公共边或相等的边时，需要使用两次勾股定理构建方程.
典例呈现
如图20-1-20,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC 的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答.过点A 作AD⊥BC于点D，如图.设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形的面积.
2变式训练
1.如图20-1-21 是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE 的长度一样，滑梯的高度BC=4m,BE=1m ,则滑道AC 的长度为 m.
2.铁路上 A，B两站(视为直线上两点)相距25 km,C,D 为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB 于点B,如图20-1-22,已知 DA=15 km,CB=10km.现要在铁路AB 旁建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的距离相等，则收购站E应建在距A 站 km处.
第3课时利用勾股定理作图、计算
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 利用勾股定理证明
1. 已知:如图20-1-23,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD²+CD²=2AB².
求证:AB=BC.
知识点 2 利用勾股定理在数轴上表示实数
2. 如图20-1-24,在 Rt△OAB 中,OA=2,AB=1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，斜边OB的长为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则点C 表 示 的 实数是 ( )
A. 5 B.−5 C.-2 D.−3
3.如图20-1-25,点A,B 在数轴上表示的数分别为-1,1,∠ABC=90°,BC=2,以点 A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 D，则点 D 表示的数为 ( )
A.2 B.2 2
C.22+1 D.22−1
4. 在数轴上分别画出表示 10,−13,15的点.
知识点 3勾股定理与网格
5.如图20-1-26，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长是整数的边 有 ( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
6.如图20-1-27，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点.以格点为顶点(端点)，分别按下列要求画图(不要求写画法和证明，但要标注顶点)：
(1)在图①中,画三条线段 AB,CD,EF,使 AB=5,CD=22,EF=13;
(2)在图②中,画△ABC,使 AB =3,BC= 22,CA=5.
知识点 4 勾股定理与图形折叠
7. 如图20-1-28,有一张直角三角 形纸 片，两直角边 AC = 4,BC = 8,将△ABC 折叠,使点 B 与点A 重合,折痕为DE,则CD 的长为 .
8. 如图 20-1-29,折叠长方形 ABCD 的一边AD,使点 D 落在BC 边上的点 F 处,已知AB=8cm,BC=10 cm,求 BF,CE 及折痕AE 的长.
规律方法综合练 训练思维
9. (2025广西)如图20-1-30,点 A,D 在 BC 同侧,AB = BC = CA =2,BD=CD = 2则 A D = .
10. T3 变式)如图 20-1-31,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形ABCD 的四条边为边向外作正方形，正方形的面积分别为a，b，c，d.若a+d=12,则b+c= .
11.如图20-1-32①②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合下列要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
(1)画一个面积为5 的等腰直角三角形；
(2)画一个一边长为2 2，面积为6的等腰三角形.
12.如图20-1-33,已知AD 是△ABC 的中线,∠C=90°,DE⊥AB 于点 E.
求证： AC2=AE2−BE2.
拓广探究创新练 提升素养
13.已知: 在△ABC 中,
AB=15,AC=13,BC 边上的高AD=12,求 BC 的长.
第1课时 勾股定理及其验证
1. A
2.证明：由题意知四边形 ABDE 是梯形，梯形ABDE 的面积可以表示为 2×12ab+ 12c2,也可以表示为 a+ba+b2, ∴2×12ab+12c2=a+ba+b2,化简，得 a2+b2=c2.
3. C 4. D 5. 3 6.2
7. (1)2 2 3(2)2 2 22
8. (1)a= 5(2)a=24,c=40
9. B10. C 11. 2π 12. 4 213. 254
串题训练
典例呈现
14cm
变式训练
1. C 2, C
第2课时勾股定理在实际生活中的应用1. B 2. C 3. C 4. 18米 5. 12米6. 2.4 7. (1)2.4米 (2)0.8米 8. A 9. 5
10.解：如图，设湖水深AB为x尺，则红莲总长BC为(x+0.5)尺,AC 的长为2尺.
在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 x2+22=x+0.52,
解得x=3.75,即湖水深3.75尺.
串题训练
典例呈现
解:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,则∠ADB =∠ADC=90°.
设BD=x,则CD=14-x.
在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 AD2=AB2− BD2=152−x2.
在Rt△ACD 中,由勾股定理,得 AD2=AC2− CD2=132−14−x2,
∴152−x2=132−14−x2,解得x=9,
∴AD=152−92=12,
∴S△ABC=12BC·AD=12×14×12=84.
变式训练
1. 8.5 2. 10
第 3课时 利用勾股定理作图、计算
1. 证明:连接AC,如图.
∵∠ABC=90°,
∴AB2+BC2=AC2.
∵CD⊥AD,
∴AD2+CD2=AC2,
∴AD2+CD2=AB2+BC2.
∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2,
∴BC2=AB2,
∵AB>0,BC>0,∴AB=BC.
2. B 3. D 4. 略 5. C
6. 解:(1)如图①.
(2)如图②.
7. 3 8. BF=6cm CE=3c m AE=5 5 cm9. 3-1 10. 12
11. 解:(1)如图①,直角边长为 10的等腰直角三角形即为所求.
(2)如图②，底边长为2 2，底边上的高为 23的等腰三角形即为所求.
12. 证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴AE2=AD2−DE2,BE2=BD2− DE2,AC2=AD2−CD2,
∴AE2=BE2=AD2−DE2−(BD2− DE2)=AD2−BD2=AD2−CD2=AC2,即 AC2=AE2−BE2.
13. 4或14