初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用第2课时测试题

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第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础题
知识点1 勾股定理的逆定理应用
1．如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（ ）
A．两角互余的三角形是直角三角形
B．有一个角是直角的三角形是直角三角形
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：设相邻两个结的距离为m，则此三角形三边的长分别为 ，
∵，
所以以为边长的三角形是直角三角形．
即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
故选：D.
2．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）．
【详解】解：∵，，
∴．
∴是直角三角形，．
点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式：
解得：．
故选：C．
3．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______．
【答案】/90度
【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可．
【详解】解：∵
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形， 且．
4．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面__________（填“垂直”或“不垂直”）．
【答案】不垂直
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，否则不是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理，通过计算电线杆高度和水平距离的平方和与拉线长度的平方是否相等，判断电线杆与地面是否垂直．
【详解】解：∵，
，
∴不满足勾股定理的逆定理，
∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成直角三角形，
∴电线杆与地面不垂直．
故答案为：不垂直．
5．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．

（1）这个零件______符合要求吗？（填“是”或“否”）
（2）这个四边形的面积为______．
【答案】 是
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理可求，是直角三角形，且，然后作答即可；
（2）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，是直角三角形，且，
∴这个零件符合要求，
故答案为：是；
（2）解：由题意知，
故答案为：．
6．如图，有一块三角形菜园，其中，，．
(1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由；
(2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上定理．
（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）根据勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，且，
即，
∴为直角三角形，
∴，
即；
（2）解：∵，
∴由勾股定理得，
∴．
7．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的内容是解题的关键．
先在中，利用勾股定理求出的长度；再在中，通过勾股定理的逆定理判断是否为，从而验证是否成立．
【详解】解：在中，
∵，，，
∴，
.
在中，∵，，
∴，.
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故该车符合安全标准．
8．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，．
(1)与垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．
【答案】(1)与垂直，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键；
（1）根据题意易得，然后问题可求解；
（2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：与垂直，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可设，则有，
∵，
∴，即，
解得：，
∴．
知识点2 勾股定理逆定理的综合应用
9．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为______．

【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意可知，利用勾股定理可求出的长，利用即可求解．
【详解】解：由题意得：，
在中，，
，
；
故答案为：．
10．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．48B．60C．76D．80
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理；
先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可．
【详解】解：∵正方形的面积为100，
∴正方形的边长，
∵，，，
∴，
∴，
∴
，
故选：C．
11．如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于______．
【答案】45
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵是由翻折而来，
∴，，．
设，
在中，∵，，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：45．
12．如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．36B．24C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，掌握折叠前后对应边相等，利用勾股定理列方程求线段长度是解题的关键．
先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设，在中用勾股定理列方程求出，最后计算阴影部分的面积．
【详解】解：在中，，，，
，
为直角三角形，且．
设．
由折叠的性质，得，，
．
∵在中，根据勾股定理，得，
，
解得，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为．
故选：A．
13．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______．
【答案】/
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
先由勾股定理求出，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解．
【详解】解：连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
中档题
14．如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为_____．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关系验证直角三角形，进而求出的长．
先根据尺规作图特征，确定是的垂直平分线、是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出．
【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分垂直平分，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）．
∴
在中，，
∵，即，
∴为直角三角形，且，即．
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
15．《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】直角
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可得出结论，如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】解：，，，
，
，即，
是直角三角形，
故答案为：直角．
16．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形．
设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积．
【详解】解：设长为，长为，长为．
的周长为，即，
，
解得，
，，，
，
是直角三角形，且．
经过，，，
．
故选：B．
17．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=，
综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
18．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可．
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一个因式为，
，
∴另一个因式为．
综合题
19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析
(2)台风中心移动的速度为
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响；
（2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可．
【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
过点作于点，如图：
、、
是直角三角形，
即
海港受台风影响；
（2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点
时，正好影响海港，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
台风影响海港持续的时间为5小时
∴台风中心移动的速度为
答：台风中心移动的速度千米/小时．
课堂检测
1．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】本题考查了勾股定理的逆定理和垂线段最短的性质，解题的关键是构造直角三角形并利用相关性质验证大小关系．
通过构造三边长为、、的直角三角形，利用勾股定理的逆定理证明其为直角三角形，再结合垂线段最短的性质验证．
【解答】解：如图，中，，，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴，
故A符合题意，
选项、、均无法通过几何角度直接验证，
故选：A．
2．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积．
【详解】解：连接，
，，，
∴，
，
，，
∴，，
，则为直角三角形，且，
这块地的面积为．
故选：B．
3．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（ ）平方千米．
A．15B．30C．75D．60
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形．
通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米，
∴面积（平方千米）．
故选：B．
4．如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（ ）
A．北偏西B．南偏西C．南偏东D．南偏西
【答案】D
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，由题意可得海里，海里，进而由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即得到，即可求解，由勾股定理的逆定理得到是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，
∵海里，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
∴号舰的航行方向是南偏西，
故选：．
5．如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为_____________千米．
【答案】/
【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．
【详解】在中，因为，，
所以，
所以是直角三角形且 ．
设千米，则千米．
在中，由已知得，，，
由勾股定理得，
所以，
解得，
故答案为．
6．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为________平方米．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答．
【详解】解：在中，
∵，米，米，
∴（米），
在中，
∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴（平方米）
故答案为：．
7．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
(1)连接，试判断的形状，并写出证明过程；
(2)求这块空地的面积．
【答案】(1)是直角三角形；见解析
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的判定方法是关键．
（1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解；
（2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
由题意得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴这块空地的面积为．
8．习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”．某校为促进学生全面发展，健康成长，计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形）建造一个劳动实践基地，已知，，，，．
(1)求证：；
(2)求这块四边形空地的面积．
【答案】(1)
(2)这块四边形空地的面积为
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）如图：连接，由勾股定理可得， 再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可证明结论；
（2）根据列式计算即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，
在中，，，，
，
，，，
，
为直角三角形，.
（2）解：在中，，，在中，，，
，
∴这块四边形空地的面积为．
9．如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入．
(1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离．
(2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】(1)240米
(2)需要暂时封锁，需要封锁的公路长为140米
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，过C作于点D，根据三角形面积求得的长即可；
（2）由于米，小于安全距离250米．因此公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米，需要暂时封锁．连接、，根据勾股定理求出，进而求出即可．
【详解】（1）解：由题意得米，米，米，
，
是直角三角形，．
如图，过C作于点D，
∴，
即，
∴米，
答：烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，米，小于安全距离250米．
∴公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
连接、，
米，，
，
∵在中，（米），
（米），
即需要封锁的公路长为140米．