人教版（2024）八年级下册（2024）21.2 平行四边形习题

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基础题
知识点1 平行四边形的性质
1．如图，在中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
2．如图，在中，，，点在上，点在上，四边形的周长为，且平分的面积，则的长为_______．
【答案】
【分析】连接、，与交于点，通过证明，得出，根据四边形的周长为，得出，即可得答案．
【详解】解：如图，连接、，与交于点，
∵平分的面积，
∴过与的交点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形的周长，
∵，，
∴．
【点睛】由平分的面积得出过与的交点是解本题关键．
3．若平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则该平行四边形的短边长为（ ）
A．7B．5C．6D．9
【答案】B
【分析】借助平行四边形对边相等的性质，先求出相邻两边的和，再结合相邻两边的差，通过列一元一次方程求解短边长．
【详解】解：∵平行四边形对边相等，周长为24，
∴相邻两边的和为．
设短边长为x，则长边长为，
∵相邻两边的和为12，且两边差为2，
∴，
解得．
即短边长为5．
4．如图，在中，的平分线交于点，连接，若，，，则的长为______．
【答案】3
【分析】根据平行四边形的性质得到，由角平分线的性质得到，推出，利用三角形的内角和求出，从而求出，可得，由等边对等角推出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
5．如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________．
【答案】
【详解】解：的对角线、相交于点，其周长为，
，，，，
①；
的周长比的周长大，
，
②，
①②得：，
，
．
知识点2 利用平行四边形性质进行证明
6．如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质．首先根据平行四边形对边平行的性质得到内错角相等；再由尺规作图的步骤可知直线垂直平分线段，得到；最后结合对顶角相等，利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等的性质即可证得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴；
又∵，
∴，
∴．
7．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质，得出，，，根据角平分线定义证明，根据“”证明，即可得出．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，，
．
平分，平分，
，，
，
在和中，
，
，
．
8．如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由平行四边形性质可得，，，通过平行线性质可得，，则有，然后通过“”证明全等即可；
（）由（）得，，根据角平分线定义可得，最后三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）得：，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
9．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键．
（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴．
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
10．如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
11．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G．
(1)求证：．
(2)若，请求出的周长．
【答案】(1)详见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解；
（2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的平分线，
，
，
，
同理可得：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
的周长为．
知识点3 平行线之间的距离
12．铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（ ）
A．平行线间的距离处处相等B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键在于理解铁轨枕木的设计与平行线间距离的关系．依据铁轨双轨道平行进行分析即可得出结论．
【详解】解：A、铁轨是平行的两条直线，枕木位于两轨之间，若枕木形状相同，则无论放置在哪个位置，都能保证与两轨的距离一致，符合平行线间距离处处相等，故A正确；
B、此选项强调两点间最短路径，与枕木形状无关，故B不合题意；
C、垂线段最短是点到直线的垂直距离，与枕木横向支撑无关，故C不合题意；
D、此选项用于解释直线方向的确定，与枕木形状的统一性无关，故D不合题意．
故选：A．
13．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（ ）
A．的长B．的长C．的长D．的长
【答案】C
【分析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合．
【详解】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度．
线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平行线的垂线段．
14．如图，，，，则点C到的距离为（ ）
A．2B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键．
首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点C到的距离为，
故选：A．
15．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】16
【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积．
【详解】解：如图，连接，
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，，
∴，
∴，
，
，
∵的面积为，
即阴影部分的面积为16．
故答案为：．
16．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键；
过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长．
【详解】解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N，
则，，
，
，
，
与之间的距离等于线段的长，
，，平分，
，
同理可得，，
，
与之间的距离等于．
故答案为：．
知识点4 利用平行线之间的距离解决问题
17．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
【答案】保持不变
【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可．
【详解】解：设平行线与之间的距离为，则，
而，
，
在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变．
故答案为：保持不变．
18．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，
∵，
∴，
∵在中，的长是，
∴，
∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线，
∴，
∴乘电梯从点到点上升的高度是，
故选：A．
19．如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等．
【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点．
，
．
，．
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键．
20．如图，在中，，以的三边为边分别向外画一个正方形．过点C作，垂足为M，连接，则的面积等于（ ）
A．的面积B．的面积
C．正方形面积的一半D．正方形面积的一半
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等及证明面积相等问题，掌握“手拉手”几何模型及平行线间距离相等是解题的关键．
延长交于点，连接，先证明的面积等于，利用几何模型——“手拉手”，易证，再证明，推出，再根据平行线之间的距离处处相等可得，进而得到，进而即可得出结论．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，
∵，，
∴，
∴的面积等于，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
，
∴，
，
∴点到所在直线的距离等于，点到所在直线的距离等于，
，，
∴，
∵的面积等于，
∴的面积等于正方形面积的一半．
故选：C．
21．如图，在四边形中，，，，为的中点，连接交于点，记的面积为，的面积为，若，，则___________．
【答案】12
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形中线的性质、三角形面积等知识点，掌握平行线间的距离相等是解题的关键．
如图：连接，根据平行线的性质可得、边上的高相等，即，再根据三角形中线的性质可得，根据图形可得、，最后代入作差即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，边上的高相等，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵的面积为，的面积为，
∴．
故答案为：12．
中档题
22．如图，将平行四边形沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F．若，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解四边形是平行四边形，且，得，，，，设，，再结合折叠性质得，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质，全等三角形的判定与性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，，，，
∴，
设，
∴，
由翻折性质得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵
∴，
在和中，
，
，故选项C正确，不符合题意；
∵，
与不垂直，故选项D不正确，符合题意，
故选：D．
23．如图，在中，，，以D为圆心，任意长为半径画弧，交于点F，交于点Q，分别以F、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，恰好有，则的长为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、尺规作图-作已知角的角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由作图可知，平分，进而证明，易得，进一步可知，再在中，利用勾股定理解得的长度，然后在利用勾股定理解得的长度即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，，
∴，
由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵
∴，
∴在中，．
故答案为：．
24．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质证明即可；
（2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵在中，，，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴．
25．如图，在中，对角线，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理：
（1）证明，利用可证明；
（2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
．
，，
．
在和中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
，，
∴，
，
．
26．如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；
根据平行四边形的性质得到边的相等关系以及平行关系，利用垂直平分线的性质得到，再根据角度和平行关系推导出的度数进而求得的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
27．如图，在平行四边形中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）证明即可求证；
（）由等腰三角形的性质得，即得，进而得到，再根据全等三角形的性质即可求解；
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
，，
，
∵，
，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，，
，
，
，
，
∵，
．
课堂检测
1．如图，在中，，平分，则的度数为____________．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，可得，，再结合平行线的性质以及角平分线的定义可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴．
2．物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力．如图，设两个共点力的合力为，现保持两个力的夹角不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力（ ）
A．一定增大B．保持不变
C．可能增大，也可能减小D．一定减小
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质即可得到答案．
【详解】解：已知两边及其夹角，可以确定一个平行四边形，即其对角线也确定，
而两边夹角不变，某一边不变，另一边减少时，平行四边形的对角线也在减少，
两力的夹角不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则合力F一定减小．
3．如图，E，F分别是的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点G，则的周长为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】C
【分析】先证明是等边三角形，再根据等边三角形的定义以及，得到三角形的周长．
【详解】解：∵，将四边形沿翻折，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴的周长为：．
4．如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到；
本题根据平行四边形的性质，可得，设与之间的距离为，可得：，然后代入即可求解；
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴平行四边形的面积，
∴，
∴，
∴与之间的距离为．
故选：A．
5．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可．
【详解】解：∵
∴设和之间的距离为h，
∴，，，
∴．
故选：D．
6．如图，在长方形中，，．折叠长方形使得点恰好落在边上，折痕与边相交于点，与长方形另一边相交于点．若，则的长为______．
【答案】或
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，设折叠后，点的对应点为点，折痕为，设，分点在边上和点在边上两种情况，分别画出图形，利用折叠的性质和勾股定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：设折叠后，点的对应点为点，折痕为，设，
当点在边上时，如图，过点作于点，
，
由折叠得，，，
∵，，，，
∴，，
由题意得，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当点在边上时，如图，过点作于点，点的对应点为点，
由折叠得，，，，，
∵，，，，
∴，，，
同理上可得，，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
综上，的长为或，
故答案为：或．
7．如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
8．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，若其中一点到达终点时，则另一点随之停止运动.从运动开始，经过多少时，?
【答案】经过或时，
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先确定两点运动的时间，设经过时，，分两种情况：当四边形为平行四边形时，，，当四边形为等腰梯形时，，讨论求解即可．
【详解】解：根据题意，点运动到点需要24秒，点运动到点需要秒，
设经过时，，
①当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得；
②当四边形为等腰梯形时，，
过点作，交于点，过点作，交于点，则，
∴，
∴，
∵，，即，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴，
解得；
综上所述，经过或时，．
9．如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F，求，的度数．
【答案】=，=
【分析】本题考查了平行四边形的性质．
首先根据平行四边形的性质得到，根据可求得和的度数为，再求得，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，，
∴．
10．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴．