初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用习题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（ ）
A．1B．C．D．
2．如图，的两边和的垂直平分线分别交于D，E两点，垂足分别为M，N，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（ ）
A．25B．26C．27D．28
4．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．3C．1D．
6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）

A．20dmB．25dmC．30dmD．35dm
7．如图，已知点C为线段AB的中点，．按下列步骤作图：
（1）分别以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D；
（2）作射线AD，并在射线AD上截取；
（3）连接CE，设CE的中点为F，连接BF．
则BF的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ）

A．2B．C．D．4
9．下列不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．2，3，4D．7，24，25
10．在中，若，则下列式子成立的是( )
A．B．
C．D．
11．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置，则水的深度为（ ）
A．B．C．D．
12．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，几乎不用文字解释，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．分类讨论思想C．统计思想D．公理化思想
二、填空题
13．已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
（1）如图1，与交于点 M；
①找格点 E， 作线段；
②直接写出的度数 ．
（2）如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明． ．
14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，且，以点为直角顶点，逆时针方向作，使；再以点为直角顶点，逆时针方向作，使；再以点为直角顶点，逆时针方向作，使；依次进行作下去，则点的坐标为 ．
16．如图，直线是一条河，、两地到直线l的距离和分别长、，且．若在直线上修建一个水泵站，向、两地供水，则铺设的管道最短是 ．
17．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ．
三、解答题
18．如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
(2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
19．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：．
20．如图1，是我国汉代的赵爽用来证明“勾股定理”的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为、，斜边长为．
（1）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为________和________；
（2）若，大正方形的边长，则小正方形的边长为________；
[知识迁移]通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（3）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为________；
（4）已知，，利用上面的规律求的值．
21．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．
22．如图，在中，，将沿方向平移a个单位得到．
(1)求点C到的距离；
(2)连接，，当为正三角形，求a的值．
23．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．

24．【问题提出】
如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接．
（1）的度数为______；
（2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由；
【类比探究】
如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变，
（3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由．
《20.1勾股定理及其应用》参考答案
1．A
【分析】首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：，
设，
由题意得，，
，
，
，
，
，
，
故选：
2．B
【分析】根据垂直平分线的性质得，，， 即，根据勾股定理得AB=8cm，即可得的周长为：．
【详解】解：∵边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D，E两点，
∴，，，
∴
∵三角形ABC是直角三角形，AC=6cm，，
∴，
∴的周长为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
3．B
【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，，在中，利用勾股定理表示出 ，从而得解．
【详解】解：设，则，
四个直角三角形全等，
，
，
，
，，
在中， ，
正方形的面积为 ．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理．
先根据等腰直角三角形的性质求得，再根据勾股定理解得即可．
【详解】解：，，
，
在中，，
故选：A．
6．B
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故选B．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
7．C
【分析】根据作图可知，为等边三角形，再结合可计算，即可判断，然后在和中，由勾股定理依次计算CE、BF的长即可．
【详解】解：如下图，连接CD，
∵C为线段AB的中点，，
∴，
∵以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴在中，，，
，
∵F为CE的中点，
∴，
∴在中，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意并综合运用相关知识是解题关键．
8．A
【分析】此题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先得到，然后由折叠得到，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】∵，，，
∴，
∵将沿翻折，使点A与点B重合，
∴，，
∴，
∴
∴．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了勾股数的定义，正确记忆勾股数的定义是解题关键．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A、，则3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、，则5，12，13是勾股数，不符合题意；
C、，则2，3，4不是勾股数，符合题意；
D、，则7，24，25是勾股数，不符合题意；
故选：C．
10．A
【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案．
【详解】解：在中，若，
，
为直角边，为斜边，
根据勾股定理可得，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键．
11．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，荷花的高，且水平距离为，那么水深与组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】解：根据题意，荷花的高，且水平距离为，
由勾股定理，，
，
．
故选：C．
12．A
【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学思想为：数形结合思想，
故选：A．
13． 取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为
【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案；
（2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求．
【详解】（1）解：①如图1中， 直线即为所求；
②∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求．
理由：同理可得：，，
而，
∴，
故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为．
【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键．
14．8
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积＝b的面积-a的面积．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
则b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积-a的面积．
故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，全等三角形的判定和性质，注意掌握此题中的结论：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和．
15．
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理多次计算，找出规律即可得到结果．
【详解】解：
是等腰直角三角形，
同理可得：
由上可知，每个方位上是点是每8一个循环，
余6
∴点在第三象限，
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理结合，准确进行计算，发现规律是解题的关键．
16．13
【分析】本题考查了轴对称—路径最短问题、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．作点关于直线的对称点，过点作，可证明四边形为矩形，所以，，根据勾股定理解出的长即可．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，则．连结，过点作，交的延长线于点，则线段的长度即为所求．
由题意，可知，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴在中，．
∴铺设的管道最短是．
故答案为．
17．
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可．
【详解】解：由图可知，小正方形的边长为，
∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，
∴，
∴．
故答案为：，，．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据梯形的面积公式即可求解；
（2）如图所示，用图①的4个直角三角形，拼成正方形，根据正方形的面积的两种计算方式即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）如图所示，可以证明a2+b2＝c2．
验证：大正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2
大正方形的面积＝c2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论．
【详解】解：连接．
因为，
所以，
所以，，
因为，
所以．
因为M为中点，
所以，
所以．
20．（1）；；（2）3；（3）；（4）．
【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的面积和体积是解题的关键．
（1）根据大正方形的面积边长边长或大正方形的面积直角三角形的面积+小正方形的面积，分别求出大正方形的面积的两种表示，再根据同一图形面积相等的性质分析，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论计算即可求解；
（3）分别求出大正方体的体积和各个部分的体积，再根据同一正方体体积相等的性质分析，即可得出答案；
（4）结合（3）的结论，根据代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为，面积可表示为；
图中阴影部分小正方形的面积也可表示为，
故答案为：；；
（2）由（1）得，
∵，，
∴，
∴小正方形的边长为，
故答案为：3；
（3）图形的体积为：或，
，
，
故答案为：；
（4）∵，，，
∴，
∴．
21．m＝1
【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数可得：(3m+2)2+ ( 4m+8) 2= ( 5m+8) 2，再解方程即可．
【详解】解： m＞0， 3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，
（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，
解得：m＝1．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用等积法进行计算即可；
（2）根据平移得到：，当为正三角形，，进而得到，从而得到为等腰三角形，进而得到，即可得解．
【详解】（1）解：设点C到的距离为：，
∵，
∴，
∵，即：，
∴，
即点C到的距离为：；
（2）解：∵将沿方向平移a个单位得到，
∴，，
连结，，
当为正三角形时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题考查平移的性质，等边三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握平移后，对应边相等，等边三角形的三边相等以及等腰三角形三线合一，是解题的关键．
23．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
证明，得出，根据，，的面积分别为，和，梯形的面积为，得出，再化简即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，的面积分别为，和，梯形的面积为，
∴，
∴，
化简，得．
24．（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）证明，得到，利用角的和差关系进行求解即可；
（2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系即可得出结论；
（3）证明，求出为直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）知：，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∴，，
∴；
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
B
A
B
C
A
C
A
题号
11
12








答案
C
A