八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有的震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为和，则第三边的长度可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，设第三边为，则，由此即可求解．
【详解】解：设第三边长度为，
∵三角形三边关系：，即，
∴根据题意，符合题意，
故选：C．
3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零解答
【详解】∵分式 有意义，
∴分母 ，
∴ ，
故选：B
4. 给出下列计算，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A中，，故错误；
B中，，正确；
C中，，故错误；
D中，，故错误．
故选：B．
5. 在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（ ）的交点处
A. 三条角平分线B. 三条中线
C. 三条高D. 三条边的垂直平分线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解．
【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处
故选：B．
6. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的意义，利用因式分解的定义分别分析得出即可．
【详解】解：A、，是整式的乘法，故此选项错误；
B、等号的右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项错误；
C、，是因式分解，故此选项正确；
D、等号右边有分式，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
故选：C．
7. 下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分．
【详解】A、，可约分，所以不是最简分式；
B、，可约分，所以不是最简分式；
C、，可约分，所以不是最简分式；
D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式．
故选：D．
8. 甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要用天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工作的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据题意知：甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再将与相加即可求解．
【详解】解：甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要用天才能完成这项工程，
甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，
两队共同工作一天完成这项工作的：，
故选：D．
9. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：D．
10. 如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（ ）

A. 1cmB. 2cm或C. 2cmD. 1cm或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了有关动点问题的全等三角形应用，掌握和两种全等情况是解本题的关键．
根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可．
【详解】解：①若，则，，可得：，，
解得：，；
②若，则，，可得：，，
解得：，
的长度为1cm或．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 浙江大学团队研发的纳米钙钛矿发光二极管，最小像素尺寸仅米，是迄今报道过的最小像素．将数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
12. 计算：___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了零次幂，负指数幂的运算．根据计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：6．
13. 将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则________度．
【答案】43
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键．
如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：连接，
由题意可知，，
在中，，
∴，
又∵，，
∴，即，
在中，，
∴．
故答案为：43．
14. 如图，平分，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，取得最小值是解题的关键．
连接，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，然后根据角平分线的性质定理可知此时，即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵点Q是射线上一个动点，
∴当时，取得最小值，
∵平分，，，，
∴．
故答案为：3．
15. 如图，在中，，，点、分别是、上的动点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．若是等腰三角形，则的度数为_____．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，等腰三角形性质，分类讨论．由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得．
详解】解：∵，，
∴，
分三种情况讨论：
①当时，如图：
∴，
∴；
②当时，如图：
∴，
∴；
③当时，如图：
∴，
∴；
综上所述，为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．）
16. （1）分解因式：
（2）解分式方程：；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解、解分式方程，是掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）利用提取公因式法和完全平方公式进行分解因式即可；
（2）先将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，注意检验即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
方程两边同乘以，得：，
去括号得：
解得：
检验：当时，
经检验，是原方程的解．
17. 先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值．
【答案】
，当时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是关键，根据分式的混合运算法则化简，结合题意得到，代入计算即可求解．
【详解】解：
，
∵，即
∴从中选出合适的的整数值为，
∴原式．
18. 如图，已知中．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）；
（2）连接，若，的周长是18，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质．
（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则可得的周长为．
小问1详解】
解：如图，直线即为所求．
【小问2详解】
解：连接，
∵的周长是18，
∴，
∴，
∵直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，．
（1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标．
（2）的面积为 ．
（3）在x轴上画一点P，使得的值最小．
【答案】（1）图见详解，
（2）
（3）图见详解
【解析】
【分析】本题主要考查图形与坐标及轴对称的性质，熟练掌握图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键；
（1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接，然后写出点的坐标即可；
（2）根据割补法可进行求解；
（3）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
由坐标系可知：；
【小问2详解】
解：由坐标系可知：；
【小问3详解】
解：如图所示，点P即为所求．
20. 如图，在中，点D为边上一点，交于点E，点F为延长线上一点，，．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由可证，可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍．
（1）求两种型号纪念品的单价分别是多少元；
（2）若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？
【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元
（2）最多能购买个型号的纪念品
【解析】
【分析】（）根据“数量总价单价”，结合“型号数量是型号数量的倍”这一关键条件，列出分式方程求解；
（）根据“总费用A型号单价数量型号单价数量”，结合“总费用不超过元”列出一元一次不等式，求解不等式得到的最大值．
【小问1详解】
解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元．
【小问2详解】
解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴根据题意，得，
解得，
∴最多能购买个型号的纪念品．
【点睛】第（1）问解分式方程后，要检验所得解是否为原方程的解，且需符合实际意义；第（2）问设未知数时，要注意未知数的取值范围为正整数．
22. 如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______；
（2）请用两种方式表示图②中阴影部分的面积；
（3）观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键．
（1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长；
（2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积；
（3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果．
【小问1详解】
解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长；
【小问2详解】
解：阴影部分的面积第一种直接用，
第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为；
【小问3详解】
解：由（2）可得，
，
由题意可得，，
代入上式可得．
23. 【活动初探】在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系

（1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F．求证：．
【变式再探】
（2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点．
【类比深探】
（3）在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为射线上一动点（点E不与点A，C重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，请直接写出、、的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到平分，再利用角平分线的性质证明即可；
（2）由等腰三角形的性质得到，再根据等边三角形的性质得到，进而得到、，从而得到结论即可；
（3）在上截取，连接，，易得到，根据等腰三角形的性质得到，垂直平分，进而证得是等边三角形，则，易证得，进而得到，据此可得到，进而得到，从而得到结论．
【详解】解：（1），点为中点，
平分，
于点，于点，
；
（2），
，
和分别为等边三角形，
，
，即，
，
点G在的垂直平分线上，
，
点A在垂直平分线上，
垂直平分，
点为中点，
（3），证明如下：
如图所示，在上截取，连接，，
，
，
；
点为中点，
，垂直平分，
，，
，
，
；
，
，
，
；
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．