八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共23页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分）
1. 如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设点C表示的数为x，
∵数轴上表示2，对应点分别是A、B，
∴，
即，
解得．
即点C表示的数为．
2. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数；只有同类项才能合并．
【详解】解：对于选项A，，选项A计算错误．
对于选项B，与中相同字母的指数分别为4和1，不是同类项，不能合并，选项B计算错误．
对于选项C，，选项C计算正确．
对于选项D，，选项D计算错误．
故选：C．
3. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意；
B、由折叠可知是的中线，故不符合题意；
C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意；
D、由折叠可知是的高线，故符合题意．
4. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两点确定一条直线
D. 两点之间线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可．
【详解】解：∵点O为、的中点，
∴
∵，
∴；
∴；
∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
故选B．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 当时，分式有意义B. 分式与的最简公分母是
C. 当分式值为0时，D. 无论x为何值，的值总为正数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质．
【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误；
对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误；
对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误；
对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确．
故选：D．
6. 已知多项式是某个整式的平方的展开式，则a的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方公式对应系数即可求出a的值．
【详解】解：∵多项式是某个整式的平方的展开式，符合完全平方公式的结构，
∴令，，得，
∴中间项满足，
即，
解得．
7. 如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答即可．
【详解】解：根据三角形三边关系可得，，，
∴，即，
∴，间的距离不可能是．
8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由题意易得，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
9. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用——工程问题，熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，列方程，是解题的关键．
设乙队单独施工1个月完成总工程的，将总工程量记为单位1，根据“甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量”列方程，整理后对应选项即可．
【详解】∵总工程量记为单位1，甲单独1个月完成总工程的，
∴两队共同工作的半个月中，甲完成的工程量为，乙完成的工程量为，
∵工程全部完成，总工程量为1，
∴可得方程 ，
移项整理得 ，与选项A一致．
故选：A．
10. 4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每小题3分，共计15分）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】观察多项式的各项，发现都含有公因数，先提取公因式得到；接着观察括号内的式子，它符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解即可．
【详解】解：
．
12. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 将一副三角板如图摆放，已知：，，，若点E恰好在上，则的度数是________．
【答案】##75度
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
14. 如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出的取值范围．
【详解】解：已知等式整理得：，
即，
∵，
∴
∴，
解得：，
∴，
延长到E，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，,
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15. 现有一列数：，，，…，，（n为正整数），规定，，，…若．则n的值为________．
【答案】99
【解析】
【分析】先通过累加法求出数列的一般结论，再利用裂项相消法对分式求和，最后通过解方程求出n的值.
【详解】解：由题意得：
将，，，，代入得：
整理得：
（）
整理得：
解得
三、解答题（共计75分）
16. （1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算同底数幂的除法和幂的乘方，再计算整式的加法；
（2）先计算分子中的单项式乘以单项式，包括同底数幂的乘法，注意法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；再计算单项式除以单项式，包括同底数幂的除法，注意法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17. （1）解分式方程：；
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后经检验，即可作答．
（2）先把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加法，即可作答．
【详解】（1）解：，
去分母，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴原方程的解是．
（2）解：
18. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）如图，，，垂足分别为，，，，求证：．
【答案】（1），2；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项，再计算得到，最后代入原式即可；
（2）利用线段的和得到，再利用垂直的定义得到，即可利用证明，推出，即可证明．
【详解】（1）解：
，
，
∵，
∴原式；
（2）证明：∵，
∴，即，
∵，，垂足分别为，，
∴，
在和中，
，
∴．
∴
∴．
19. 如图，在中，于D，平分．
（1）若，且，求和的度数；
（2）若，，，，求的面积．
【答案】（1）
（2）22
【解析】
【分析】（1）先推导出，，得到，则，进而推导出，根据三角形的内角和即可求出的度数；
（2）过点E作于点F，于点M，先推导出，求出，得到，则，即可解答．
小问1详解】
解：，
，，
，
，
又∵平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点E作于点F，于点M，如图
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即
解得，
∴，
∴．
20. 小张、小李两人同时去同一家加油站加92号汽油，小张花280元所加的油量比小李花210元所加的油量多10升．
（1）求92号汽油的单价；
（2）小张、小李两人第二次去加92号汽油时，单价比第一次少了1元/升，小张所加的油量与第一次相同，小李所花的钱与第一次相同，则小张两次加92号汽油的平均单价是________元/升，小李两次加92号汽油的平均单价是________元/升；
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同________（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用分式的相关知识说明理由；（提示：小张、小李两人同时去同一家加油站加两次92号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次m元/升，第二次n元/升，且．两人的加油方式也不同，其中小张每次总是加汽油h升，小李每次总是加汽油d元．）
【答案】（1）7元/升
（2）；
（3）金额，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设92号汽油的单价为元/升，根据“小张花280元所加的油量比小李花210元所加的油量多10升”，列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）先求出小张第一次加油的量，从而得出小张第二次加油的钱，再求平均单价即可；求出小李第一次和第二次加油的量，再求平均单价即可；
（3）求出小张两次加油的平均单价为（元/升），小李两次加油的平均单价为（元/升），再作差进行比较即可得出答案．
【小问1详解】
解：设92号汽油的单价为元/升，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
92号汽油的单价为元/升；
【小问2详解】
解：小张第一次和第二次加油的量都为（升），
小张第二次加油所花的钱为（元），
小张两次加92号汽油的平均单价是（元/升）；
小李第一次加油的量为（升），
小李第一次和第二次加油所花的钱都为元，
小李第二次加油的量为（升），
小李两次加92号汽油的平均单价是（元/升）；
【小问3详解】
解：由题意得：
小张两次加油的平均单价为（元/升），
小李两次加油的平均单价为（元/升），
，
，且，，
，，
，
，
小张的两次平均单价比小李的两次平均单价高，
故建议按相同金额加油更合算．
21. 【例题再现】新人教版八上数学107页例3（4）题：计算________．请写出它的计算结果，我们称其为“立方和”公式．
【变式】计算：________．我们称其为“立方差”公式；
应用】①计算：；
②已知：若在实数范围内有：，试求：的值．
【答案】【例题再现】；【变式】；【应用】①2027，②36
【解析】
【分析】本题主要考查了整式运算，涉及“立方和”公式、“立方差”公式、完全平方公式的应用等，
例题再现：首先根据多项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项即可；
变式：首先根据多项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项即可；
应用：①首先根据“立方和”公式计算，再进一步计算即可；
②首先由已知条件可得，再利用完全平方公式可得，根据“立方差”公式将进行变形转换，然后代入求值即可．
【详解】解：例题再现：
，
故答案为：．
变式：
，
故答案为：．
应用：①
；
②∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
．
22. 【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现．
【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？
【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：；
【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数．
【答案】[实践探究]见详解；[类比探究]见详解；[拓展应用]
【解析】
【分析】[实践探究]由三角形外角的性质可得；
[类比探究]证明，如图所示，折叠，使得，交于F，则，由三角形三边关系得到，据此可证明；
[拓展应用]由折叠的性质可得，则，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质和前面的结论证明，由三角形内角和定理得到，则，即可得到．
【详解】解：[实践探究]理由如下：
∵折叠，
∴，
∵，
∴；
[类比探究]∵；
如图所示，
折叠，使得，交于F，则，
在中，，
∴，即；
[拓展应用]由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．
例：m为何值时，多项式有一个因式是．
解：设它的另一个因式为（a为常数），
则
比较两边的系数，得，解得．
（1）已知多项式有一个因式是，求m的值；
（2）已知，其中A，B为常数，求的值；
（3）已知是的一个因式，分解因式：________．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解；
（2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解；
（3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可．
【小问1详解】
解：设它的另一个因式为 ，
则
比较两边的系数，得，
解得；
【小问2详解】
解：，
，
，
比较分子的系数得，
∴
；
【小问3详解】
解：设它的另一个因式为（为常数）
则

，
比较两边的系数，得，解得，
．
24. 问题情境：是等边三角形，点D是上一点，点E在的延长线上，且，连接、．
猜想证明：
（1）如图1，当点D是的中点时，判断与的数量关系；
（2）若点D为边上任意点时，同学们经讨论发现（1）中的结论依然成立，请利用图2完成证明过程；
问题解决：
（3）如图3，当点D是边上任意一点时，取的中点F，连接．试求出的度数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明；
（2）过点作，交于点．证明是等边三角形，可得 ，证明，，可得结论；
（3）延长至，使，连接，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果．
【详解】解：（1），理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过点作，交于点．
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
，
，
，
，
在和中，
，
，
（3）如图，延长至，使，连接，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∴， ，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．