八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在每一个学子心中都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
2. 下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：与是同类二次根式即可合并，
由于=2，2与是同类二次根式，
∴2与可以合并，
故选C．
【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及同底数幂的除法．需逐一分析各选项是否符合相应运算法则．
【详解】解：A．，该选项计算错误，故不符合题意；
B．，该选项计算正确，故符合题意；
C．，该选项计算错误，故不符合题意；
D．，该选项计算错误，故不符合题意；
故选：B．
4. 若要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A. 且B. 且C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围．
【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件：
①二次根式被开方数非负，即，
②分式分母不为0，即，解得，
∴的取值范围为且．
5. 若实数x，y满足．则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 12或15
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．
【详解】解：∵实数x，y满足|3-x|+=0，
∴x=3，y=6．
当3为腰时，三边为3、3、6，
而3+3=6，则3、3、6不能组成三角形；
当3为底时，三边长分别为3、6、6，
∴等腰三角形周长为3+6+6=15．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．
6. 如图，，添加下列条件，不一定能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、添加，由可得，故此选项不符合题意；
B、添加，可利用证明，故此选项不符合题意；
C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意；
D、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（ ）
A. 且B. 且
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围．
【详解】∵ 原方程为，将方程变形为，
两边同乘去分母得：，
整理求解得：，
∵ 方程解为正数，且分式分母不能为0，
∴ ，且，
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
∴ 且．
8. 已知，，且，则的值为（ ）
A. 或B. 2或10C. 10D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去，
∵时，和都满足，
当时，，
当时，，
∴的值为2或10．
9. 若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键，
根据完全平方公式的结构对比对应项系数，即可求出a的值．
【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解，
∴，
展开得，
∴，
则．
10. 如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可．
【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点，
，，，．
，．
是等边三角形，故①正确．
由轴对称可知，，，
，故②正确．
由轴对称可知，，，
，．
，
．
．
平分，故③正确．
，，
．
，
．
，故④正确．
二、填空题：（每小题4分，共20分）
11. 中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达，将数据用科学记数法可表示为__________，
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
12. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 化简的结果是____________________ ．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解．
【详解】解：原式
．
14. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可．
【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为，
第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为，
第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为，
第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为，
即点C回到了原始位置，
∴每4次对称变换为一个循环．
∵，
∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为．
15. 如图，中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ________ ．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．
【详解】解：如图，连接．
垂直平分，
，，
，
当、、在同一直线上时，最小，最小值为．
周长最小值．
，点是边的中点，
，
，
，
即．
故答案为：．
三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简计算，再根据二次根式的乘除法计算即可求出答案；
（2）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，然后计算加减法即可．
（3）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，1
【解析】
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
详解】解：
，
当，时，
原式．
18. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，．
求证：
（1）
（2）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质．
（1）根据得到，根据得到，根据证明即可；
（2）根据得到，即可证明．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴．
19. “以形释数”是利用数形结合的思想解决代数问题的一种方法，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．例如，对于同一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．如图1，可得等式：

（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，可以得到等式：______；
（2）利用中所得结论，解决问题：已知，，求ab的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可；
（2）根据代入计算即可；
（3）根据，代入计算即可．
【小问1详解】
解：由图2可得，
故答案为：．
【小问2详解】
解：，
，即，
，
，
．
【小问3详解】
解：，，
∴阴影部分的面积为．
20. “好客山东，品行天下”，5月31日至6月1日在德州举办的“德州新青年音乐节”，得到全国各地人民的一致好评，音乐节将开放包容的城市形象与年轻人的活力紧密结合，成功宣推了“活力青春”的德州城市形象．当地某组织部门计划采购具有德州特色的零食礼包进行城市宣传，已知用8800元采购的A型礼包的数量是用4200元采购的B型礼包数量的2倍，其中A型礼包比B型礼包的单价多1元．
（1）求A，B两种型号礼包的单价分别是多少元？
（2）若计划采购A，B两种型号的礼包共1000个，且所花费用不超过21600元，求最多能购买多少个A型号的礼包？
【答案】（1）A种型号礼包的单价是22元，B种型号礼包的单价是21元
（2）最多能购买600个A型号的礼包
【解析】
【分析】（1）设A型礼包的单价是x元，则B型礼包的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验可得答案；
（2）根据所花费用不超过21600元，列不等式求解，即可解题．
【小问1详解】
解：设A型礼包单价是x元，则B型礼包的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型礼包的单价是22元，B型礼包的单价是21元；
【小问2详解】
解：设能采购y个A型的礼包，则能采购个B型的礼包，
根据题意得：，
解得：，
答：最多能购买600个A型的礼包．
21. 如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）由是平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长．
【小问1详解】
证明：∵，是的平分线，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故的长为5．
22. 【学习材料】——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如：
例1 分解因式：
【解析】解：原式=
例2 分解因式：
【解析】解：原式=
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：______．
（2）运用拆项添项法分解因式：．
（3）化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（3）根据题意利用拆项添项法对分式的分子进行因式分解，然后再约分化简．
详解】解：（1），
，
，
，
；
（2）
，
，
；
（3）∵，
，
，
∴原式．
【点睛】本题考查因式分解，理解题意，并熟练掌握完全平方公式和平方差公式的公式结构是关键．
23. 已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，．
（1）如图1，证明为等边三角形；
（2）如图2，过点作于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先证，再证，进而为等边三角形；
（2）先证，再证，进而；
（3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而.
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：在上取一点，使，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．