八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共18页。
2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚；使用答题卡时，请认真阅读答题须知，并按要求去做．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．
1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】轴对称图形的定义：在平面内，将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形即为轴对称图形．
【详解】解：选项A的图形，找不到一条直线，使得沿该直线折叠后直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形；
选项B的图形，沿任意直线折叠后，直线两旁的部分均不能完全重合，不是轴对称图形；
选项C的图形，不存在满足条件的折叠直线，不是轴对称图形；
选项D的图形，存在多条直线(如过图形中心的水平直线、竖直直线等)，沿这些直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．
故选：D．
2. 下列约分正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据约分的运算法则对各项判断即可．
【详解】解：项，故A项约分错误；
项，故B项约分错误；
项，故C项约分正确；
项，故D项约分不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了约分的运算法则，熟记约分的运算法则是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂除法、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂除法、负整数次幂逐项判断即可．
【详解】解：A． 与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B． ，故B选项不符合题意；
C． ，故 C 选项不符合题意；
D． ，故 D 选项符合题意．
故选D．
4. 若分式的值为0，则的值为（ ）
A 4B. C. 0D. 4或
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可．
【详解】解；∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：B．
5. 如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（ ）

A. 带①②去B. 带②③去C. 带①④去D. 带①③去
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以A选项不符合题意；
由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片②③不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以B选项符合题意；
由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①④能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以C选项不符合题意；
由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以D选项不符合题意．
故选：B．
6. 已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式是解答的关键．
【详解】解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解，
∴由得，
故选：D
7. 已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．
8. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
，
故选：A．
9. 如图，已知在中，，敏敏通过尺规作图得到交于点O，连接，根据其作图痕迹，可得的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查看尺规作图、垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握基本的尺规作图是解题的关键．
由作图痕迹可知， 平分，是的垂直平分线，根据角平分线的定义可得 ，由垂直平分线的性质可得，运用等边对等角可得，再根据角的和差即可解答．
【详解】解：由作图痕迹可知， 平分，是的垂直平分线，
∴，，
∴．
∴．
故选C．
10. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程．
【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算=______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. “墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值．据此即可求解．
【详解】解：数据0.000022用科学记数法表示为，
故答案为：．
13. 计算的结果是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，根据分母不变，分子相加减计算即可．
【详解】解：原式

．
故答案为：．
14. 若关于的方程组的解满足，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先由加减消元法解二元一次方程组，得到，代入确定，最后利用幂的运算法则化简后，将代入计算结果即可．
详解】解：
由①②得；
将代入，得；
，
，
则，
．
15. 如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】的周长为，其中是定值，因此周长的最小值由的最小值决定；利用对称点性质，作点关于的对称点，则，根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值，最后计算和的长度，相加即可得到周长的最小值．
【详解】解：∵，，
∴，，
在中，，，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴．
作点关于的对称点，
∵，即，
∴是线段的垂直平分线，
，
连接，交于点，此时，根据“两点之间线段最短”，，这是的最小值．
在中，，，
∴，
∴的周长为．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算即可；
（2）根据整式的除法法则计算即可；
（3）可先计算括号内，再把除法转化为乘法计算，约分化简即可．
小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：
．
17. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：；
（2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
．
18. 解下列分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）无解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解．
（1）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可；
（2）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可．
【小问1详解】
解：
，
解得：，
经检验：是方程的增根，
∴原方程无解；
【小问2详解】
解：，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
19. 如图，已知 ，
（1）在边上找一点D，使得点 D到，边的距离相等；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若 ，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的作图，判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的判定可知，点D在的角平分线上，作的角平分线，交于点D，点D即可求解；
（2）根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，再根据线段和差关系即可得解．
【小问1详解】
解：如图①，点 D 即为所求，
【小问2详解】
解：如图②，过点D作，垂足为点E，
由（1）知， 平分，
，
∴，
，
，
，
，
．
20. “整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了．
例如：分解因式．
解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式．
请根据上述材料回答下列问题：
（1）请补全横线上的步骤：___________；
（2）分解因式：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键．
（1）根据完全平方公式因式分解即可；
（2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：令，
则原式
将还原，
得原式．
21. 如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若是的中点，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）等边对等角，结合等角的余角相等，以及对顶角相等，得到，即可得证；
（2）过点A作于点，三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴是等腰三角形.
【小问2详解】
解：如图，过点A作于点，由（1）知，，
．
是的中点，
．
又，
，
，
．
22. 某游乐园计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表．
（1）若本次购买单枪充电桩数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据游客需求，游乐园决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购游乐园预备支出不超过35500元，求游乐园最少需要购买单枪新能源充电桩的数量？
【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个
（2）4个
【解析】
【分析】（1）设单枪单价为元，双枪单价为元，根据购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，列出方程进行求解即可；
（2）设再次购进单枪新能源充电桩个，根据此次加购游乐园预备支出不超过35500元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设单枪单价为元，双枪单价为元，
根据题意可得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个），
答：单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个；
【小问2详解】
解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费元，
此次加购游乐园预备支出不超过35500元，
，解得，
的最小值为4，
游乐园最少需要购买单枪新能源充电桩4个．
23. 【积累经验】我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，线段经过点，且与垂直并相交于点，与垂直并相交于点．求证：．”这个问题时，只要证明即可得到解决．
（1）请写出证明过程：
【类比应用】（2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
【拓展提升】（3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或；
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质：（1）根据，得到，从而得到，根据得到，从而得到，结合即可得到即可得到证明；（2）过点C作x轴平行线交y轴于点D，过点A作于E，同（1）证明即可得到答案；（3）根据全等两直角三角形拼凑，分直角边斜边两类直接作图即可得到答案；
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
∴，
∴，；
（2）解：如图所示，过点C作x轴平行线交y轴于点D，过点A作于E，
，
同（1）理可得，
，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵轴，，，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：根据模型可得，
当以为直角边，B为连接点，如图所示，
，
当以为直角边，A为连接点，如图所示，
，
当以为斜边，如图所示，
，
∴点C为：或或．单枪充电桩
双枪充电桩
花费：40000元
花费：30000元
单价：元个
单价：元/个