八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）．
1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，在其发展过程中演变出多种字体．下面是“爱我中华”四个字的篆书，能看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、B、D选项中的图形不是轴对称图形，A、B、D不符合题意；
C选项中图形是轴对称图形，故C符合题意．
2. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及平方差公式计算各选项后，再进行判断即可．
【详解】A．原式，故A不符合题意；
B．原式，故B不符合题意；
C．与不是同类项，故不能合并，故C不符合题意；
D．原式，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项以及平方差公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
3. 在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．
【详解】A、原式，故A不是最简分式；
C、原式，故C不是最简分式；
D、原式，故D不是最简分式；
故选：B．
【点睛】本题考查最简分式，解题关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．
4. 已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（ ）
A. 5B. 4.5C. 4D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ABC=×18=9，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE=S△ABD=×9=4.5.
故选B.
【点睛】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
5. 如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角等于已知角，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．根据尺规作图可知，然后确定的度数即可．
【详解】解：根据作图可知，，
所以．
故选：B．
6. 如图，，，于点，于点．若，，则的长是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
7. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意；
添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意；
添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意；
添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意；
故选：B．
8. 如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（ ）

A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置．
【详解】如图所示：

原点可能是D点．
故选D．
【点睛】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确建立坐标系是解题关键．
9. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位，
∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日，
∴甲的速度为，乙的速度为，
设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为，
∵相遇时甲乙的路程和等于总路程，
∴．
10. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算．
【详解】解：∵，
∴．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）．
11. 科技发展芯片被誉为现代工业的掌上明珠．某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个非零数字前面所有零的个数．
【详解】解：．
12. 已知，，则的值为___________．
【答案】
【解析】
分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可．
【详解】解：，，
．
13. 若是完全平方式，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值．
【详解】解：是完全平方式，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，，以为直角边在x轴下方作等腰直角三角形，，，则点C的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于点，通过角的计算可找出，结合，即可证出，根据全等三角形的性质即可得出，再结合点的坐标即可得出的长度，进而可得出点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示．
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴点的坐标为．
15. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短：
在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可．
【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
∴当三点共线时，，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，
∵，，
∴，即：，
∴，
的最小值为；
故答案为：．
三、解答题（共8道题，共75 分）．
16. 按要求做题．
（1）计算：
①
②
（2）因式分解．
③
④
【答案】（1）①；②；
（2）③；④
【解析】
【分析】（1）①根据二次根式的性质化简每一项，再合并即可；
②先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并即可；
（2）③先提公因式，再运用平方差公式因式分解即可；
④先变形后提公因式，再运用平方差公式因式分解即可；
【小问1详解】
解：①
；
②
；
【小问2详解】
解：③；
④
．
17. 先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值．
【答案】，3
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算化简分式，再选择一个让原式的所有分母都不为0的值代入求值即可．
【详解】原式
，
∵
∴和0，
∴当时，
原式
【点睛】此题考查分式的性质和混合运算，解题关键是利用因式分解将分式化简，然后根据分式的性质代值计算．
18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）在平面直角坐标系中画出．
（2）点关于轴的对称点的坐标为__________；点关于轴的对称点的坐标为__________；
（3）已知，求的面积．
【答案】（1）见详解 （2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标点的表示，关于坐标轴对称点的规律，三角形面积的计算．
（1）根据已知三角形端点坐标描点，连线，即可得到．
（2）根据关于坐标轴对称点的规律得到对应点的坐标．
（3）在平面直角坐标系中绘制出点，根据三角形面积计算公式计算面积即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴在平面直角坐标系中画出，如图所示，
【小问2详解】
解：∵点关于轴的对称点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
∴点关于轴的对称点的坐标为，
∵点关于轴的对称点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
点关于轴的对称点的坐标为；
【小问3详解】
解：∵点，
∴如图，在平面直角坐标系中绘制点，连接，
∴由图可知，边上的高为点到轴的距离，即，
∴的面积．
19. 如图，中，点D在边上，且．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，
【小问2详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．
20. 如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答．
（2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答．
【小问1详解】
证明： 是等腰三角形的底边上的高，
，
，
根据平行线的性质得，，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：是等腰三角形的底边上的高，
∴，
，
，
，
，
，
由（1）得是等腰三角形；
∴，
．
21. 倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？
【答案】（1） A，B单价分别是360元，540元；（2）34件．
【解析】
【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/件，B种型号健身器材的单价为1．5x元/件，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买A种型号健身器材m件，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)件，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/件，B种型号健身器材的单价为1．5x元/件，
根据题意，可得：，
解得：x＝360，
经检验x＝360是原方程的根，
1.5×360＝540(元)，
因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；
（2）设购买A种型号健身器材m件，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)件，
根据题意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，
解得：m≥，
因此，A种型号健身器材至少购买34件．
【点睛】本题考查的知识点是分式方程以及一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．
22. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以＝9，2ab＝2
所以+2ab＝9，2ab＝2
得＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，＝40，求xy＝ ；
（2）请直接写出下列问题答案：若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）12 （2）±3；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据例题可得，然后整体代入求值即可；
（2）将利用完全平方公式转化为，然后再整体求出，最后直接开平方即可解答；
（3）设AC=m，CF=n，可得，求出mn即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴xy＝12
答：xy的值为12，
故答案为：12；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴2a﹣b＝±3
故答案为：±3；
小问3详解】
解：设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
∴mn＝9，
∴＝mn＝．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式的运算法则，掌握数形结合思想和整体思想是解答本题的关键．
23. 如图1，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴，y轴上，，，其中x是方程的解．
（1）求的长度．
（2）如图2，分别以、为边作等边三角形、，连接、，线段交于点C，交于点F，求的度数
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点G．求证：G为的中点．
（提示：过点E作于点H）
【答案】（1）6 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）解分式方程求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可；
（2）证明，得出，然后和中，结合三角形的内角和定理和对顶角的性质即可得出；
（3）过点E作于点H，根据三线合一的性质得出，则可得出，证明，得出，再证明，得出，即可得证．
【小问1详解】
解：，
方程两边同乘以，得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴；
小问3详解】
证明：如图3，过点E作于点H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴G为的中点．