八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了答题前，请考生先将自己的姓名，必须在答题卡上答题，在草稿纸，请勿折叠答题卡，保持字体工整，答题卡上不得使用涂改液，18等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号；
2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的分母不为零，让分式的分母为零列式求a是否存在即可．
【详解】解：A、分母故选项正确，符合题意；
B、当a=0，分母为零，故选项错误，不符合题意；
C、当a=±1，分母为零故选项错误，不符合题意；
D、当a=-1，分母为零故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是找出分母为零的情况．
2. 中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键.
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.据此进行解答即可.
【详解】解：A.不是轴对称图形，故选项符合题意；
B.是轴对称图形，故选项不符合题意；
C.是轴对称图形，故选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：A
3. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A.，
，，不能构成三角形，不符合题意；
B.，
，，不能构成三角形，不符合题意；
C.，
，，不能构成三角形，不符合题意；
D.，
，，能构成三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较短的两边的和是否大于第三边．
4. 若，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘法则进行计算，利用指数相同列方程即可求解．
【详解】解：，
，
，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，解题关键是熟记同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加．
5. 点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点坐标关于轴对称；关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可求解．
【详解】解：∵点关于y轴对称，
∴对称点的坐标为 ．
故选：B．
6. 若，且，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值．
【详解】∵，
已知 ，，
∴，
∴．
7. 已知，，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，熟记整体代入法求代数式的值是解决问题的关键．
将所求表达式因式分解为，然后将，代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
当，时，
原式，
故选：B．
8. 某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用（列分式方程），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．
设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件，根据题意即可直接列出方程．
【详解】解：设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件，
根据题意可得：，
故选：．
9. 如图，l是边的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且，则的周长的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 11D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解．
【详解】解：如图，连接，
是的边的垂直平分线，为垂足，
，
的周长为：．
10. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②是等边三角形；③；④；其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】过点O作，垂足分别为M，N，过点O作于点H，利用等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质等知识解答即可．
【详解】解：过点O作，垂足分别为M，N，过点O作于点H，
∵，，于点D，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴．
∴，
∵
∴,
∴①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
故②正确；
∵
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵,，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
∴,
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式： _____．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后运用完全平方公式进行运算即可．
【详解】原式）
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．解题的关键在于正确的运算．
12. 若，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】先相乘，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后得出答案即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，能正确根据同底数幂的乘法进行计算是解此题的关键．
13. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案．
【详解】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图，

由题意可知，，，且，
∴，
∴；
（2）当该三角形顶角为钝角时，如下图，

由题意可知，，，且，
∴，
∴．
综上所述，这个等腰三角形的底角为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
14 已知实数a，b满足，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值是解题的关键．先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把代入进行计算即可．
【详解】解：
，
，
原式．
故答案为：1．
15. 如图，中，为中线，于E，于F，，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了三角形中线平分三角形面积．
由题意可知的面积与的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【详解】解：∵为中线，
∴，
∵于点E，于点F，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
16. 和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出，即可求出结论．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，
，
，
，
∴点的坐标为．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键．根据解分式方程的一般步骤解方程即可，注意验根．
【详解】解：
，
经检验，使得，
是该方程的解．
19. 如图，在中，是边上的一点，连接，，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，设，利用三角形外角的性质知，利用三角形内角和得，解方程即可得出答案，熟练掌握三角形内角和定理并能灵活运用三角形外角的性质是解决此题的关键．
【详解】解：设，
则，
，
，
，
，
．
20. 已知：的三边长分别为a，b，c．
（1）化简：；
（2）若a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）等边三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可；
（2）由非负数的性质证明，从而可得结论．
【小问1详解】
解：∵a，b，c是的三边长，
∴，，，
∴
．
；
【小问2详解】
解：∵且，，
∴且，
∴且，即，
∴是等边三角形．
21. 阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故．
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可；
（2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值．
【小问1详解】
解：由知，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：根据题意可知x，y，z均不为0，
∴， ，，
∴，
∵，
∴．
22. 完全平方公式经过适当变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值．
解：，，
，．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，则_____；
（2）若，求的值；
（3）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和为，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形计算，即可求解．
（2）根据，求出，，再根据完全平方公式的变形计算即可；
（3）设，根据完全平方公式的变形计算可得的面积．
【小问1详解】
解：∵，
∴
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
设，
∴，，
∴，
∴；
∴，
∴．
23. 已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BMN的度数；
（3）若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝ cm．
【答案】（1）详见解析
（2）
（3）7
【解析】
【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△CAD即可；
（2）利用△ABE≌△CAD可得∠ABE＝∠CAD，结合三角形外角的性质可得∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝；
（3）先结合（2）的结论证明∠MBN＝，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出BM，利用AD＝BE＝BM+ME即可求解．
小问1详解】
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝．
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
【小问2详解】
解：由（1）得：△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠BAD+∠CAD＝，
∴∠BAD+∠ABE＝．
∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝；
【小问3详解】
解：∵△ABE≌△CAD，
∴BE＝AD，
∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝，
∴∠MBN＝﹣∠BMN＝，
∵MN＝3cm，ME＝1cm，
∴BM＝2MN＝6（cm），
∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、含30度角的直角三角形的性质等，难度较小，证明△ABE≌△CAD是解题的关键．
24. 中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程； ③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元．
（1）求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？
（2）从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由；
（3）若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？
【答案】（1）甲工程队单独施工完成全部工程各需要40天，乙工程队单独施工完成全部工程各需要60天；
（2）选甲工程队单独施工完成
（3）28天
【解析】
【分析】（1）设甲施工队单独完成此项工程需x天，依据等量关系列方程求解；
（2）先根据“若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000”求出甲乙队每天工程的费用，进而求出甲乙队完成全部工程的费用，比较即可得到结论；
（3）设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工天才能完成全部工程，根据两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000列出不等式，解不等式即可得到结论．
【小问1详解】
解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队单独完成此项工程需天．
根据题意得．
解这个方程得．
经检验是所列方程的解．
∴当时，．
答：甲工程队单独施工完成全部工程需要40天，乙工程队单独施工完成全部工程需要60天；
【小问2详解】
解：方案为：选甲工程队单独施工完成．
理由如下：由题意可得两队同时进场施工完成全部工程所需要的天数为（天），
设乙队每天工程费用为a元，则甲乙队每天工程费用为元，
由题意得，
解得，
∴甲队完成全部工程费用为（元），乙完成全部工程费用为（元），
又两队同时进场施工完成全部工程共需要工程费用元，
∵，
∴选甲工程队单独施工完成；
【小问3详解】
解：设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工天才能完成全部工程，
由题意得，
解得，
答：甲工程队至少要施工28天．
【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次方程、一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．
25. 如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求大小；
（3）如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明即可证明；
（2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论；
（3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
在和中，
．
；
【小问2详解】
解：如图，过点O作于点M，于点N，则，
由（1），
∴，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴平分，
∴．
【小问3详解】
证明：由（1）得：．
在和中，
．
∵，
∴，点E在的垂直平分线上；
在中，，
∴为等边三角形，
∴，点A在的垂直平分线上；
∴直线垂直平分．