3.1.2等式的基本性质（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.1.2 等式的基本性质背景图：左侧展示 “天平平衡实验”（左盘 2 个 50g 砝码，右盘 1 个 100g 砝码，标注 “50+50=100”；若两边同时加 1 个 20g 砝码，仍平衡，标注 “50+50+20=100+20”）；右侧呈现 “等式变形对比”（如 “若 x=5，则 x+3=5+3”“若 2x=10，则 2x÷2=10÷2”），直观体现 “等式两边同时进行相同运算，等式仍成立”，下方搭配 “解方程的理论依据” 文字提示，明确学习核心。幻灯片 2：目录等式基本性质的生活引入（天平类比）等式的基本性质 1（加减性质）等式的基本性质 2（乘除性质）等式性质的应用（判断变形是否成立、求字母值）典型例题解析（性质应用、与方程关联）易错点警示与注意事项课堂练习巩固课堂小结与作业布置幻灯片 3：等式基本性质的生活引入（天平类比）生活中的 “等式平衡” 场景我们可以将等式看作 “平衡的天平”，天平左盘和右盘的物体质量相等（对应等式左右两边的值相等），当对天平进行以下操作时，平衡状态不变：① 平衡的天平两边同时加入相同质量的物体（如左盘加 20g，右盘也加 20g），天平仍平衡；② 平衡的天平两边同时减去相同质量的物体（如左盘减 10g，右盘也减 10g），天平仍平衡；③ 平衡的天平两边同时乘相同的倍数（如两边物体质量都乘 2），天平仍平衡；④ 平衡的天平两边同时除以相同的非零质量（如两边物体质量都除以 3），天平仍平衡（若除以 0，相当于 “取走所有物体”，无意义）。类比推导等式性质天平的平衡规律可类比到等式中：若天平左盘质量 = 右盘质量（对应等式 “a = b”），则对两边进行相同的 “加减乘除（非零）” 操作后，左盘质量仍 = 右盘质量（对应等式仍成立）。这就是等式基本性质的直观来源，接下来将系统学习两条核心性质。幻灯片 4：等式的基本性质 1（加减性质）性质内容等式两边同时加（或减）同一个数（或同一个代数式），所得结果仍是等式。符号表示：若\(a = b\)，则\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)（其中\(c\)可以是任意数，也可以是含字母的代数式，如\(x\)、\(2y + 1\)等）。实例验证若\(5 = 5\)（等式）：两边同时加 3：\(5 + 3 = 5 + 3\)，即\(8 = 8\)（仍为等式）；两边同时减 2：\(5 - 2 = 5 - 2\)，即\(3 = 3\)（仍为等式）；若\(x + 2 = 7\)（等式）：两边同时减 2：\((x + 2) - 2 = 7 - 2\)，即\(x = 5\)（仍为等式，可求出未知数 x 的值）；若\(2a = b - 3\)（等式）：两边同时加\(3\)：\(2a + 3 = (b - 3) + 3\)，即\(2a + 3 = b\)（仍为等式，实现字母位置变形）。核心作用等式性质 1 是 “消去等式一边的常数项或含字母项” 的关键依据，常用于解方程中 “将未知数项移到一边，常数项移到另一边”（如将\(x + 5 = 9\)变形为\(x = 9 - 5\)）。幻灯片 5：等式的基本性质 2（乘除性质）性质内容等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0的数（或同一个不为 0 的代数式），所得结果仍是等式。符号表示：若\(a = b\)，则\(a×c = b×c\)，\(a÷c = b÷c\)（其中\(c ≠ 0\)，\(c\)可以是任意非零数或非零代数式）。关键提醒：为什么 “除以的数不能为 0”？因为 0 不能作除数（数学中规定除以 0 无意义），若等式两边同时除以 0，会导致运算无意义，等式不再成立。例如：\(6 = 6\)，若两边同时除以 0，“\(6÷0 = 6÷0\)” 无意义，故性质 2 中必须强调 “\(c ≠ 0\)”。实例验证若\(4 = 4\)（等式）：两边同时乘 2：\(4×2 = 4×2\)，即\(8 = 8\)（仍为等式）；两边同时除以 4（4≠0）：\(4÷4 = 4÷4\)，即\(1 = 1\)（仍为等式）；若\(3x = 12\)（等式）：两边同时除以 3（3≠0）：\(3x÷3 = 12÷3\)，即\(x = 4\)（仍为等式，求出未知数 x 的值）；若\(\frac{y}{5} = 2\)（等式）：两边同时乘 5：\(\frac{y}{5}×5 = 2×5\)，即\(y = 10\)（仍为等式，求出未知数 y 的值）。核心作用等式性质 2 是 “将未知数的系数化为 1” 的关键依据，常用于解方程中 “消除未知数前的系数”（如将\(2x = 6\)变形为\(x = 6÷2\)）。幻灯片 6：等式性质的应用（判断变形是否成立、求字母值）应用 1：判断等式变形是否成立（依据性质）例 1：判断下列等式变形是否成立，若成立，说明依据哪条性质；若不成立，说明理由。（1）若\(x = y\)，则\(x + 4 = y + 4\)；（2）若\(a = b\)，则\(3a = 2b\)；（3）若\(2m = 6n\)，则\(m = 3n\)；（4）若\(5k = 5l\)，则\(k = l\)（\(k\)、\(l\)为任意数）；（5）若\(p = q\)，则\(\frac{p}{0} = \frac{q}{0}\)。解答：（1）成立，依据等式性质 1（两边同时加 4）；（2）不成立，两边乘的数不同（左边乘 3，右边乘 2），不符合性质 2；（3）成立，依据等式性质 2（两边同时除以 2，2≠0）；（4）成立，依据等式性质 2（两边同时除以 5，5≠0）；（5）不成立，除以 0 无意义，不符合性质 2。应用 2：利用等式性质求字母的值例 2：已知\(2x + 5 = 15\)，利用等式性质求\(x\)的值。解答：第一步：利用性质 1，两边同时减 5（消去左边的常数项 5）；\(2x + 5 - 5 = 15 - 5\)，化简得\(2x = 10\)；第二步：利用性质 2，两边同时除以 2（将 x 的系数化为 1，2≠0）；\(2x÷2 = 10÷2\)，化简得\(x = 5\)。例 3：已知\(\frac{y - 3}{2} = 4\)，利用等式性质求\(y\)的值。解答：第一步：利用性质 2，两边同时乘 2（消去左边的分母 2，2≠0）；\(\frac{y - 3}{2}×2 = 4×2\)，化简得\(y - 3 = 8\)；第二步：利用性质 1，两边同时加 3（消去左边的 - 3）；\(y - 3 + 3 = 8 + 3\)，化简得\(y = 11\)。幻灯片 7：典型例题解析（性质应用、与方程关联）类型 1：利用等式性质变形方程（为解方程铺垫）例 1：利用等式性质将方程\(3x - 7 = 8\)变形为 “\(x = a\)”（a 为常数）的形式。解答：① 两边同时加 7（性质 1）：\(3x - 7 + 7 = 8 + 7\)，得\(3x = 15\)；② 两边同时除以 3（性质 2，3≠0）：\(3x÷3 = 15÷3\)，得\(x = 5\)。类型 2：利用等式性质解决实际问题（间接求未知量）例 2：某商店将一件商品按进价提高 40 元后标价，标价为 120 元，设该商品的进价为 x 元，利用等式性质求 x 的值。解答：第一步：列方程（根据 “进价 + 40 元 = 标价”）；\(x + 40 = 120\)；第二步：利用性质 1，两边同时减 40；\(x + 40 - 40 = 120 - 40\)，得\(x = 80\)；答：该商品的进价为 80 元。类型 3：等式性质的综合应用（含代数式变形）例 3：已知\(2a = b + 5\)，利用等式性质求下列各式的值：（1）\(2a - 3\)；（2）\(4a\)；（3）\(\frac{b + 5}{2}\)。解答：（1）由\(2a = b + 5\)，两边同时减 3（性质 1）：\(2a - 3 = b + 5 - 3 = b + 2\)；（2）由\(2a = b + 5\)，两边同时乘 2（性质 2）：\(2a×2 = (b + 5)×2\)，得\(4a = 2b + 10\)；（3）由\(2a = b + 5\)，两边同时除以 2（性质 2，2≠0）：\(\frac{2a}{2} = \frac{b + 5}{2}\)，得\(\frac{b + 5}{2} = a\)。幻灯片 8：易错点警示与注意事项易错点 1：应用性质 1 时，两边加（减）的不是 “同一个数或代数式”错误示例：若\(x = 5\)，错变形为\(x + 3 = 5 + 4\)（左边加 3，右边加 4，不是同一个数，等式不成立）；警示：性质 1 要求 “同时加（减）同一个数或代数式”，两边操作必须完全一致，不可 “左边加 A，右边加 B”（A≠B）。易错点 2：应用性质 2 时，除以的数为 0 或两边乘（除）的数不同错误示例 1：若\(4x = 8\)，错变形为\(4x÷0 = 8÷0\)（除以 0 无意义）；错误示例 2：若\(2y = 6\)，错变形为\(2y×3 = 6×2\)（左边乘 3，右边乘 2，不是同一个数，等式不成立）；警示：性质 2 需满足两个条件 ——“同时乘（除）同一个数” 且 “该数不为 0”，二者缺一不可。易错点 3：变形时忽略 “整体加（减）”，漏加括号错误示例：若\(x - (y + 1) = 3\)，利用性质 1 两边同时加\(y + 1\)，错变形为\(x - y + 1 + y + 1 = 3 + y + 1\)（正确应为\(x - (y + 1) + (y + 1) = 3 + (y + 1)\)，即\(x = y + 4\)）；警示：当加（减）的是含括号的代数式时，需将其视为 “一个整体”，完整加（减），避免拆括号导致符号错误。易错点 4：混淆 “等式性质” 与 “代数式变形”（代数式变形无需两边操作）错误示例：将代数式 “\(2x + 3\)” 变形为 “\(2x\)”，错认为 “两边同时减 3”（代数式不是等式，无需 “两边操作”，直接写 “\(2x + 3 - 3 = 2x\)” 即可）；警示：等式性质仅适用于 “等式”，代数式变形只需对代数式本身进行运算，无需遵循 “两边同时操作” 的规则。幻灯片 9：课堂练习巩固基础练习 1：判断等式变形是否成立（1）若\(m = n\)，则\(m - 5 = n - 5\)（ ）；（2）若\(a = b\)，则\(a×(-2) = b×(-2)\)（ ）；（3）若\(3p = 3q\)，则\(p = q\)（ ）；（4）若\(x = y\)，则\(\frac{x}{0} = \frac{y}{0}\)（ ）；（5）若\(2x = y\)，则\(2x + z = y + z\)（ ）。提升练习 2：利用等式性质求字母值（1）已知\(x - 6 = 10\)，求 x 的值；（2）已知\(5y = 35\)，求 y 的值；（3）已知\(\frac{z + 2}{3} = 5\)，求 z 的值；（4）已知\(3a + 4 = 13\)，求 a 的值。拓展练习 3：实际应用与综合变形（1）某数的 3 倍加上 8 等于 23，设该数为 x，利用等式性质求 x 的值；（2）已知\(3m = 2n - 1\)，利用等式性质求\(6m + 2\)的值（提示：先将\(3m = 2n - 1\)两边乘 2，再变形）。幻灯片 10：课堂小结知识点总结等式性质 1：两边同时加（减）同一个数或代数式，等式仍成立（\(a = b\)→\(a±c = b±c\)）；等式性质 2：两边同时乘（除）同一个非零数或代数式，等式仍成立（\(a = b\)→\(a×c = b×c\)，\(a÷c = b÷c\)，\(c≠0\)）；核心区别：性质 1 针对 “加减运算”，无限制条件；性质 2 针对 “乘除运算”，需强调 “除数不为 0”；应用价值：等式2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.知道等式的基本性质，会用等式的基本性质变形.2.通过等式的变形体会转化的数学思想.◎重点:等式的基本性质.◎难点:转化的数学思想. 等式的基本性质与解方程 1.等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果　仍是等式　.用式子表示:如果a＝b，那么　a±c＝b±c　.   3.若a＝b，则b＝a，此性质叫做等式的　对称性　.  仍是等式a±c＝b±c仍是等式 对称性4.若a＝b，b＝c，则　a＝c　，此性质叫做等式的传递性(也称为　等量代换　). 【学法指导】运用等式的基本性质1时，要注意“同时”和“同一个”这两个关键词.5.思考:解方程的依据是什么？等式的基本性质.a＝c等量代换1.下列说法错误的是(　D　)D 等式的基本性质1.(1)若a－5＝b－5，则a＝b，这是根据　等式的基本性质1　.  (2)若0.25x＝5，则x＝　20　，这是根据　等式的基本性质2　.  (3)若－2＝a，则a＝　－2　，这是根据等式的　对称性　.  等式的基本性质120等式的基本性质2－2对称性(4)若x＝20，x＝y，则y＝　20　，这是根据等式的　传递性(等量代换)　.  20传递性(等量代换) 利用等式的基本性质解方程  (2)－x－2x＝21＋6，即－3x＝27.x＝－9. 5　－9　－2　  返回2. 下列各式运用等式的基本性质变形，正确的是(　D　)D 返回3. 若 a ＋2 b －1＝0，根据等式的基本性质，不能得到的等式为(　D　)D 返回4. 下面说法不正确的是(　A　)A 返回 B 返回 D 返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！