3.2.2去分母（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.2.2 去分母（解一元一次方程）背景图：左侧展示 “分数方程变形” 场景（如方程\(\frac{x}{2} + \frac{x-1}{3} = 1\)，标注 “两边乘 6（分母 2 和 3 的最小公倍数），去分母得 3x + 2 (x-1) = 6”）；右侧呈现 “去分母依据”（等式性质 2：等式两边乘同一个非零数，等式仍成立），直观体现去分母的核心操作与理论依据，下方搭配 “突破含分母方程的关键步骤” 文字提示，明确学习目标。幻灯片 2：目录去分母的引入与必要性（含分母方程的求解痛点）去分母的依据（等式性质 2）去分母的操作步骤（找最小公倍数→乘遍每一项→去括号）含分母的一元一次方程完整求解流程（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1）典型例题解析（基础型、复杂型、实际应用）易错点警示与注意事项课堂练习巩固（分层练习）课堂小结与作业布置幻灯片 3：去分母的引入与必要性（含分母方程的求解痛点）含分母方程的求解痛点此前学习的一元一次方程多为整数系数（如 “2x + 5 = 15”“3 (x-2) = 2x + 1”），可直接通过去括号、移项等步骤求解；但当方程含分母时（如 “\(\frac{x}{3} - 1 = \frac{x-2}{4}\)”），直接移项会涉及分数运算，计算繁琐且易出错。示例：解方程 “\(\frac{x}{3} - 1 = \frac{x-2}{4}\)”，若直接移项得 “\(\frac{x}{3} - \frac{x-2}{4} = 1\)”，通分计算需找分母 3 和 4 的最小公倍数 12，过程复杂；若先去分母，将方程转化为整数系数方程，可大幅简化运算。去分母的必要性去分母是将 “含分母的一元一次方程” 转化为 “整数系数的一元一次方程” 的关键步骤，通过消除分母，避免分数运算，降低计算难度，提高求解效率和准确性。示例：上述方程\(\frac{x}{3} - 1 = \frac{x-2}{4}\)，去分母后变为 “4x - 12 = 3 (x-2)”，转化为整数系数方程，后续可按常规步骤求解。问题提出：如何确定去分母时应乘的数？去分母时需要注意哪些细节，才能确保方程变形后仍成立？幻灯片 4：去分母的依据（等式性质 2）依据回顾：等式性质 2—— 等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0的数（或代数式），所得结果仍是等式。当方程含分母时，分母不为 0（分式有意义），因此可在方程两边同时乘 “所有分母的最小公倍数”（确保乘的数不为 0），消去所有分母，实现去分母变形。关键概念：最小公倍数（LCM）最小公倍数是指几个数公有的倍数中最小的一个，去分母时需乘 “所有分母的最小公倍数”，确保能消去每一个分母（若乘较大的公倍数，虽能去分母，但会增加后续计算量，故优先选最小公倍数）。示例：分母为 2 和 3，最小公倍数是 6；分母为 4、6 和 3，最小公倍数是 12；分母为 5 和 1（常数项可看作分母为 1 的分数，如 “1 = \(\frac{1}{1}\)”），最小公倍数是 5。去分母原理演示（以方程 “\(\frac{x}{2} + \frac{x-1}{3} = 1\)” 为例）确定分母：2、3、1（常数项 1 的分母为 1）；找最小公倍数：2、3、1 的最小公倍数是 6；应用等式性质 2，两边同时乘 6：左边：\(6×\frac{x}{2} + 6×\frac{x-1}{3} = 3x + 2(x-1)\)（6 除以 2 得 3，乘 x 得 3x；6 除以 3 得 2，乘 (x-1) 得 2 (x-1)）；右边：\(6×1 = 6\)；去分母后方程：\(3x + 2(x-1) = 6\)（无分母，为整数系数方程）。幻灯片 5：去分母的操作步骤（三步法）核心步骤（三步规范操作）找：确定所有分母，求最小公倍数列出方程中所有分母（包括常数项的分母 1），计算它们的最小公倍数（LCM）；示例：方程 “\(\frac{2x-1}{3} - \frac{x+2}{4} = \frac{1}{2}\)”，分母为 3、4、2，最小公倍数是 12。乘：方程两边同时乘最小公倍数，乘遍每一项用最小公倍数乘方程左右两边的每一项（包括不含分母的项，如常数项、含未知数的整数项），确保不遗漏任何一项；示例：延续上例，两边乘 12：左边：\(12×\frac{2x-1}{3} - 12×\frac{x+2}{4}\)；右边：\(12×\frac{1}{2}\)。消：计算每一项，消去分母，注意加括号对于含分母的项，用最小公倍数除以分母，再乘分子（分子是多项式时，需加括号，避免符号错误）；对于不含分母的项，直接乘最小公倍数；示例：延续上例，计算得：左边：\(4(2x-1) - 3(x+2)\)（12÷3=4，乘 (2x-1)；12÷4=3，乘 (x+2)）；右边：6（12÷2=6，乘 1）；去分母后方程：\(4(2x-1) - 3(x+2) = 6\)。常见情况处理分母为小数：先将小数分母化为整数（如 “\(\frac{x}{0.2} + 1 = \frac{x}{0.5}\)”，分母 0.2 和 0.5 化为整数，两边乘 10 得 “\(\frac{10x}{2} + 10 = \frac{10x}{5}\)”，即 “5x + 10 = 2x”，再按常规去分母步骤）；分子是多项式：乘最小公倍数后，分子多项式需加括号（如 “\(\frac{x-1}{2}\)” 乘 6 得 “3 (x-1)”，不可写为 “3x - 1”）。幻灯片 6：含分母的一元一次方程完整求解流程完整流程（五步规范法）含分母的一元一次方程求解需在常规步骤前增加 “去分母”，具体流程为：去分母：乘所有分母的最小公倍数，消去分母，转化为整数系数方程；去括号：去掉方程中的括号（括号前是 “+”，符号不变；是 “-”，符号全变）；移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项变号；合并同类项：合并同类项，化为 “ax = b”（a≠0）的形式；系数化为 1：两边除以 a，求出 “x = \(\frac{b}{a}\)”。完整演示（解方程 “\(\frac{2x-1}{3} - \frac{x+2}{4} = \frac{1}{2}\)”）步骤 1：去分母（分母 3、4、2，最小公倍数 12，两边乘 12）；\(12×\frac{2x-1}{3} - 12×\frac{x+2}{4} = 12×\frac{1}{2}\) → \(4(2x-1) - 3(x+2) = 6\)；步骤 2：去括号（4 乘 2x 得 8x，4 乘 - 1 得 - 4；-3 乘 x 得 - 3x，-3 乘 2 得 - 6）；\(8x - 4 - 3x - 6 = 6\)；步骤 3：移项（8x - 3x = 6 + 4 + 6）；步骤 4：合并同类项（5x = 16）；步骤 5：系数化为 1（x = \(\frac{16}{5}\) = 3.2）；检验：将 x=\(\frac{16}{5}\)代入原方程，左边 =\(\frac{2×\frac{16}{5}-1}{3} - \frac{\frac{16}{5}+2}{4}\)=\(\frac{\frac{32}{5}-\frac{5}{5}}{3} - \frac{\frac{16}{5}+\frac{10}{5}}{4}\)=\(\frac{\frac{27}{5}}{3} - \frac{\frac{26}{5}}{4}\)=\(\frac{9}{5} - \frac{13}{10}\)=\(\frac{18}{10} - \frac{13}{10}\)=\(\frac{5}{10}\)=\(\frac{1}{2}\)，右边 =\(\frac{1}{2}\)，左边 = 右边，解正确。幻灯片 7：典型例题解析（基础型、复杂型、实际应用）类型 1：基础型（分母为整数，分子为单项式）例 1：解方程 “\(\frac{x}{5} - \frac{x-2}{3} = 1\)”。解答：去分母（分母 5、3、1，最小公倍数 15，两边乘 15）；\(3x - 5(x-2) = 15\)；去括号：\(3x - 5x + 10 = 15\)；移项：\(3x - 5x = 15 - 10\)；合并同类项：\(-2x = 5\)；系数化为 1：x = -\(\frac{5}{2}\)（或 - 2.5）。类型 2：复杂型（分母为小数，分子为多项式）例 2：解方程 “\(\frac{x - 0.1}{0.2} + \frac{0.2x + 0.3}{0.5} = 3\)”。解答：先将分母化为整数（利用分数性质，分子分母同乘 10）；\(\frac{10(x - 0.1)}{2} + \frac{10(0.2x + 0.3)}{5} = 3\) → \(\frac{10x - 1}{2} + \frac{2x + 3}{5} = 3\)；去分母（分母 2、5、1，最小公倍数 10，两边乘 10）；\(5(10x - 1) + 2(2x + 3) = 30\)；去括号：\(50x - 5 + 4x + 6 = 30\)；移项：\(50x + 4x = 30 + 5 - 6\)；合并同类项：\(54x = 29\)；系数化为 1：x = \(\frac{29}{54}\)。类型 3：实际应用（列含分母的方程求解）例 3：小明读一本小说，第一天读了全书的\(\frac{1}{3}\)，第二天读了剩余页数的\(\frac{1}{2}\)，还剩 20 页未读，求这本书的总页数（用一元一次方程解）。解答：设未知数：设这本书总页数为 x 页；分析页数关系：第一天读了\(\frac{1}{3}x\)页，剩余\(x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x\)页；第二天读了剩余的\(\frac{1}{2}\)，即\(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x\)页；剩余页数 = 总页数 - 第一天读的 - 第二天读的，即\(x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x = 20\)；解方程：合并同类项（或先去分母）：\(\frac{1}{3}x = 20\)；系数化为 1：x = 60；验：总页数 60 页，第一天读 20 页，剩余 40 页，第二天读 20 页，剩余 20 页，符合题意；答：这本书的总页数为 60 页。幻灯片 8：易错点警示与注意事项易错点 1：去分母时，漏乘不含分母的项（如常数项）错误示例：解方程 “\(\frac{x}{2} + 1 = \frac{x-1}{3}\)” 时，两边乘 6，错得 “3x + 1 = 2 (x-1)”（正确应为 “3x + 6 = 2 (x-1)”，常数项 1 漏乘 6）；警示：去分母时，方程两边的每一项（包括常数项、含未知数的整数项）都要乘最小公倍数，逐一检查，不可遗漏。易错点 2：分子是多项式时，去分母后未加括号，导致符号错误错误示例：解方程 “\(\frac{x-1}{2} - 1 = \frac{2x+3}{3}\)” 时，两边乘 6，错得 “3x - 1 - 6 = 4x + 6”（正确应为 “3 (x-1) - 6 = 2 (2x+3)”，即 “3x - 3 - 6 = 4x + 6”，分子 x-1 未加括号，漏乘 3 的 - 1）；警示：分子是多项式时，去分母后必须给分子加括号，确保多项式的每一项都与 “最小公倍数 ÷ 分母” 的结果相乘。易错点 3：选择的数不是所有分母的最小公倍数，导致无法完全消去分母错误示例：解方程 “\(\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 1\)” 时，两边乘 4（仅乘第一个分母），错得 “x + \(\frac{4x}{6}\) = 4”（仍含分母 6，正确应乘 12，得 “3x + 2x = 12”）；警示：去分母需乘 “所有分母的最小公倍数”，确保能消去每一个分母，避免残留分母。易错点 4：分母为小数时，直接乘最小公倍数，未先化为整数错误示例：解方程 “\(\frac{x}{0.3} = \frac{x+1}{0.2}\)” 时，直接乘 6（0.3 和 0.2 的最小公倍数，错误，小数的最小公倍数需先化为整数），错得 “20x = 30 (x+1)”（虽结果正确，但步骤不规范，易出错，正确应先将分母化为整数：两边乘 10 得 “\(\frac{10x}{3}\) = \(\frac{10(x+1)}{2}\)”，再乘 6 去分母）；警示：分母为小数时，优先利用 “分数的基本性质” 将分母化为整数（分子分母同乘 10、100 等），再进行去分母操作。幻灯片 9：课堂练习巩固（分层练习）基础练习 1：基础含分母方程求解（1）解方程：(\frac {x}{3} - 2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.知道用去分母法解一元一次方程，明确去分母的依据.2.了解一元一次方程解法的一般步骤及依据.◎重点:解含分数的一元一次方程.◎难点:解一元一次方程的一般步骤及依据. 18世纪著名瑞士数学家欧拉(1707~1783)的《代数基础》一书中有这样一个问题:一位老人打算按如下次序和方式分他的遗产:老大分100元和剩下遗产的十分之一，老二分200元和剩下遗产的十分之一，老三分300元和剩下遗产的十分之一，老四分400元和剩下遗产的十分之一……结果每个儿子得到的遗产一样多.请问这位老人共有几个儿子？【学法指导】这是一道非常经典的含分数的一元一次方程，若设遗产有x元，老大分得90＋0.1x，老二分得0.09x＋171，由于每人得到的一样多，可知遗产有8100元，老大分得900元，共有9个儿子. 去分母解方程 【归纳总结】去分母的实质是利用等式的基本性质2，在等式两边都乘以各分母的　最小公倍数　. 最小公倍数 解方程将系数化为整数   分数的基本性质等式的基本性质2去括号法则或乘法分配律移项等式的基本性质1或移项法则 乘法分配律系数化为1等式的基本性质2【归纳总结】对于分子、分母含小数的一元一次方程，先利用　分数　的基本性质，将其系数化为整数. 分数  D D 解:去分母，得3(4－x)－2(2x＋1)＝24，去括号，得12－3x－4x－2＝24，移项，得－3x－4x＝24－12＋2，合并同类项，得－7x＝14，系数化为1，得x＝－2. 去分母 方法归纳交流　去分母时要给分子中的多项式打括号.B 利用去分母解一元一次方程   解分子、分母含小数的一元一次方程  移项，得50x－200x＝－400＋25，合并同类项，得－150x＝－375，系数化为1，得x＝2.5. C C 返回 【点拨】　　方程两边同时乘6，注意：等号右边的“1”不要漏乘6.D 返回 C 返回  分数的基本性质等式的性质2去括号法则(或分配律)移项等式的性质1合并同类项系数化为1等式的性质2 返回 解：2×7 x ＝(4 x －1)＋1，…(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处.【解】如图.(2)写出正确的解答过程.  返回   返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！