3.2.1几何问题与行程问题（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.2.1 几何问题与行程问题（列方程解决实际问题）背景图：左侧展示 “长方形周长计算” 场景（标注 “长 x 厘米，宽 5 厘米，周长 30 厘米”，搭配方程 “2 (x+5)=30”）；右侧呈现 “相遇问题” 场景（甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，标注 “甲车速度 60km/h，乙车速度 40km/h，1.5 小时后相遇，求 A、B 距离”，搭配方程 “60×1.5 + 40×1.5 = s”），直观体现两类问题的核心等量关系，下方搭配 “从实际场景到方程模型” 文字提示，明确学习目标。幻灯片 2：目录列方程解决实际问题的通用步骤几何问题（周长、面积、体积相关）常见几何公式回顾典型例题解析（求边长、半径、高度等）行程问题（相遇、追及、匀速行驶）核心公式与等量关系典型例题解析（相遇、追及、路程计算）易错点警示与注意事项课堂练习巩固（分层练习）课堂小结与作业布置幻灯片 3：列方程解决实际问题的通用步骤核心步骤（五步建模法）无论是几何问题还是行程问题，列方程求解的本质的是 “将实际问题转化为数学方程”，通用步骤如下：审：审题，找关键信息通读题目，明确已知量、未知量，标注关键词（如几何问题中的 “周长”“面积”，行程问题中的 “速度”“时间”“相遇”）；设：设未知数选择未知量用字母表示（通常设 “求什么设什么”，即直接设元；复杂问题可间接设元），设时需带单位（如 “设长方形的长为 x 厘米”“设甲车行驶时间为 t 小时”）；列：列等量关系，写方程根据题目中的公式（如几何公式、行程公式）或隐含的等量关系（如 “相遇时两车路程和 = 总距离”），用含未知数的代数式表示等量关系，列出方程；解：解方程利用等式的基本性质，逐步变形方程，求出未知数的值（注意解的单位需与设元时一致）；验：检验并作答检验解是否符合实际意义（如几何问题中边长不能为负，行程问题中时间不能为负），再用文字规范作答。示例演示（简化版）题目：一个长方形宽为 4 厘米，周长 28 厘米，求长。步骤 1：审 —— 已知宽 4cm、周长 28cm，未知长；步骤 2：设 —— 设长为 x 厘米；步骤 3：列 —— 周长公式 “2 (长 + 宽)= 周长”，方程 “2 (x+4)=28”；步骤 4：解 —— 两边 ÷2 得 x+4=14，减 4 得 x=10；步骤 5：验 ——x=10>0，符合实际，答：长为 10 厘米。幻灯片 4：几何问题（周长、面积相关）一、常见几何公式回顾（小学与初中衔接核心公式）图形周长公式（C）面积公式（S）备注长方形C=2 (a+b)（a：长，b：宽）S=ab对边相等，四个角为直角正方形C=4a（a：边长）S=a²四边相等，四个角为直角三角形C=a+b+c（a、b、c：三边）S=½ah（a：底，h：对应高）任意三角形面积均适用圆C=2πr=πd（r：半径，d：直径）S=πr²π 取 3.14 或题目指定值长方体棱长总和 = 4 (a+b+h)表面积 = 2 (ab+ah+bh)体积 V=abh（h：高）二、典型例题解析（周长与面积问题）例 1：长方形周长问题题目：一个长方形的长比宽多 3 厘米，周长为 30 厘米，求这个长方形的长和宽各是多少厘米？解答：审：已知长 - 宽 = 3cm，周长 = 30cm，未知长、宽；设：设宽为 x 厘米，则长为 (x+3) 厘米（间接设宽，避免分数）；列：周长公式 C=2 (长 + 宽)，代入得 2 [(x+3)+x]=30；解：化简方程：2 (2x+3)=30 → 4x+6=30（去括号）；两边减 6：4x=24；两边 ÷4：x=6；长 = x+3=6+3=9 厘米；验：长 9cm、宽 6cm，周长 = 2 (9+6)=30cm，符合题意；答：长方形的长为 9 厘米，宽为 6 厘米。例 2：圆的半径问题题目：一个圆形花坛的周长是 18.84 米，求这个花坛的半径（π 取 3.14）。解答：审：已知周长 C=18.84m，π=3.14，未知半径 r；设：设半径为 r 米；列：圆的周长公式 C=2πr，代入得 2×3.14×r=18.84；解：化简左边：6.28r=18.84；两边 ÷6.28：r=3；验：r=3m>0，周长 = 2×3.14×3=18.84m，符合题意；答：花坛的半径为 3 米。例 3：三角形面积问题题目：一个三角形的底是 12 厘米，面积是 48 平方厘米，求这个三角形的高是多少厘米？解答：审：已知底 a=12cm，面积 S=48cm²，未知高 h；设：设高为 h 厘米；列：三角形面积公式 S=½ah，代入得 ½×12×h=48；解：化简左边：6h=48；两边 ÷6：h=8；验：h=8cm>0，面积 =½×12×8=48cm²，符合题意；答：三角形的高为 8 厘米。幻灯片 5：行程问题（相遇、追及、匀速行驶）一、核心公式与等量关系基础公式：路程（s）= 速度（v）× 时间（t），变形公式：v=s÷t，t=s÷v；常见场景等量关系：匀速行驶（单人 / 单车）：路程 = 速度 × 时间（如 “汽车以 60km/h 行驶 t 小时，走了 60t 千米”）；相遇问题（两人 / 两车相向而行）：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程（相遇时，两人行驶时间通常相等）；追及问题（两人 / 两车同向而行，快追慢）：路程差 = 快的路程 - 慢的路程（追上时，两人行驶时间相等，路程差为初始距离）。二、典型例题解析（分场景）例 1：匀速行驶问题题目：一辆汽车从 A 地开往 B 地，以每小时 75 千米的速度行驶，4 小时后到达，求 A、B 两地的距离。若返回时速度变为每小时 60 千米，求返回所需的时间。解答（分两问）：第一问（求距离）：第二问（求返回时间）：审：已知 v=75km/h，t=4h，未知 s；设：设 A、B 两地距离为 s 千米；列：s=75×4（直接用基础公式，无需方程，也可列方程 s÷4=75）；解：s=300 千米；审：已知 s=300km，v=60km/h，未知 t；设：设返回时间为 t 小时；列：60t=300（路程 = 速度 × 时间）；解：t=300÷60=5 小时；验：t=5h>0，60×5=300km，符合题意；答：A、B 两地距离为 300 千米，返回需 5 小时。例 2：相遇问题题目：甲、乙两车分别从相距 450 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶 60 千米，乙车每小时行驶 40 千米，经过几小时两车相遇？解答：审：已知总路程 = 450km，v 甲 = 60km/h，v 乙 = 40km/h，未知相遇时间 t；设：设经过 t 小时两车相遇；列：相遇时，甲路程 + 乙路程 = 总路程，即 60t + 40t=450；解：合并同类项：100t=450；两边 ÷100：t=4.5；验：t=4.5h>0，甲路程 = 60×4.5=270km，乙路程 = 40×4.5=180km，270+180=450km，符合题意；答：经过 4.5 小时两车相遇。例 3：追及问题题目：小明以每分钟 60 米的速度从家步行去学校，出发 5 分钟后，爸爸发现小明忘带书包，以每分钟 120 米的速度骑车追赶，爸爸经过几分钟能追上小明？解答：审：已知 v 小明 = 60m/min，v 爸爸 = 120m/min，小明先出发 5min，未知追及时间 t（爸爸骑行时间）；设：设爸爸经过 t 分钟追上小明；列：追上时，爸爸路程 = 小明先走路程 + 小明后走路程（路程差 = 小明先走的 5 分钟路程），即 120t=60×5 + 60t；解：化简右边：120t=300 + 60t；两边减 60t：60t=300；两边 ÷60：t=5；验：t=5min>0，爸爸路程 = 120×5=600m，小明总路程 = 60×(5+5)=600m，相等，符合题意；答：爸爸经过 5 分钟能追上小明。幻灯片 6：易错点警示与注意事项易错点 1：几何问题中，公式记忆错误或单位不统一错误示例 1：计算长方形周长时，错用公式 “C=a+b×2”（正确应为 “C=2 (a+b)”）；错误示例 2：题目中长单位为 “米”，宽为 “厘米”，未统一单位直接计算（如长 2 米、宽 50 厘米，错代入 “2 (2+50)=104”，正确应统一为米：50 厘米 = 0.5 米，再算 2 (2+0.5)=5 米）；警示：牢记几何公式，解题前先检查单位是否一致，统一单位后再列方程。易错点 2：行程问题中，混淆 “相遇” 与 “追及” 的等量关系错误示例：相遇问题中，错列方程 “v 甲 t - v 乙 t = 总路程”（正确应为 “v 甲 t + v 乙 t = 总路程”，追及问题才用 “路程差”）；警示：根据运动方向判断等量关系 —— 相向而行（相遇）用 “路程和 = 总距离”，同向而行（追及）用 “路程差 = 初始距离”。易错点 3：设未知数时，漏写单位或单位与已知量不一致错误示例：行程问题中，已知速度单位为 “km/h”，设时间为 “t 分钟”（单位不一致，导致结果错误）；警示：设未知数时，单位需与已知量的单位统一（如速度 km/h→时间 h→路程 km），设元后标注单位。易错点 4：忽略 “提前出发”“中途停留” 等隐含条件错误示例：追及问题中，小明先出发 5 分钟，错列方程 “120t=60t”（漏加小明先走的路程 “60×5”）；警示：审题时圈出 “提前”“停留”“延迟” 等关键词，分析时间或路程的隐含变化，补充到等量关系中。易错点 5：解方程后，未检验解的实际意义错误示例：几何问题中，求出边长为 “-5 厘米”，未检验直接作答（边长为负无实际意义，说明方程列错或计算错误）；警示：解出未知数后，需结合实际场景判断（长度、时间、速度等不能为负），不符合实际则重新检查。幻灯片 7：课堂练习巩固（分层练习）基础练习 1：几何问题（1）一个正方形的周长是 24 厘米，求它的边长和面积；（2）一个圆形餐桌的面积是 78.5 平方分米（π 取 3.14），求餐桌的直径；（3）一个长方体的长是 5 厘米，宽是 4 厘米，体积是 60 立方厘米，求长方体的高（体积 V = 长 × 宽 × 高）。提升练习 2：行程问题（1）一列火车以每小时 120 千米的速度行驶，从甲地到乙地共用了 3.5 小时，求甲、乙两地的距离；（2）A、B 两地相距 360 千米，甲、乙两车从两地同时出发，相向而行，甲车速度 70km/h，乙车速度 50km/h，求相遇时间；（3）小红以每分钟 80 米的速度去上学，出发 3 分钟后，妈妈发现她忘带红领巾，以每分钟 150 米的速度追赶，妈妈多久能追上小红？拓展练习 3：综合应用（1）一个长方形操场，长是宽的 2 倍，扩建后长增加 10 米，宽增加 5 米，扩建后的周长是 180 米，求原来操场的长和宽；（2）甲、乙两人从同一地点出发，甲先跑 100 米后，乙开始追赶，甲速度每秒 4 米，乙速度每秒 6 米，乙经过几秒能追上甲？幻灯片 8：课堂小结知识点总结几何问题：核心是 “熟记公式（周长、面积、体积）”，等量关系从公式中来，设未知量（边长、半径、高），列方程求解，注意单位统一；行程问题：核心是 “路程 = 速度 × 时间”，分场景找等量关系 —— 匀速行驶用 “s=vt”，相遇用 “路程和 = 总距离”，追及用 “路程差 = 初始距离”；通用方法：审→设→列→解→验，关键是 “找准等量关系”，将实际问题转化为方程模型。方法总结遇几何问题：先回忆对应图形的公式，将已知量和未知量代入公式，列出方程；遇行程问题：画线段图辅助分析（标注起点、方向、路程、速度），明确运动过程，再列等量关系；检验技巧：将解2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会用一元一次方程解决关于几何图形与行程的实际问题.2.掌握列方程解应用题的一般步骤.3.能体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立方程模型.◎重点:几何图形与行程问题中的方程思想.◎难点:建立方程模型，解决实际问题. 我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔.如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1千米时，以101米/分钟的速度奋起直追，而乌龟仍然以1米/分钟的速度爬行，那么小白兔大概需要多少分钟就能追上乌龟？为了解决这个问题，本节课我们来学习一元一次方程的应用. 几何图形中的方程 1.试比较锻造前面后的立体图形，填写下表:10090000x90π×(100)2x81000002.补全下面的解答过程.解:设应截取的圆柱体钢长为x mm，根据题意，得　π×(100)2×x＝300×300×90　， 解方程，得x≈　258　.  答:应截取约　258　mm长的圆柱体钢.  π×(100)2×x＝300×300×90258258【归纳总结】列方程解应用题的步骤:1.审:分析题意，找　等量　关系； 2.设:根据题意　设未知数　； 3.列:列　方程　 ； 4.解:解这个　方程　； 5.验:检验；6.答.等量设未知数方程方程 行程问题 路程、平均速度、时间之间的等量关系为　平均速度×时间　＝　路程　.  平均速度×时间路程 1.有一位工人师傅将底面直径为10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是(　B　)B2.甲、乙二人从相距21 km的两地同时出发，相向而行，120 min后相遇.甲每小时比乙多走300 m，设乙的速度为x km/h，下面所列方程正确的是(　B　)B3.一条猎犬发现前方100米处有一头野猪以10米/秒的速度向正前方逃窜，猎犬立即以15米/秒的速度追赶(猎犬追赶路线与野猪逃跑路线在一条直线上)，猎犬多少秒后可以追上野猪？若设猎犬x秒后可追上野猪，根据题意，可列方程为(　C　)C 几何图形问题1.根据图中给出的信息，可得正确的方程是(　A　)A方法归纳交流　几何问题的常见等量关系是两种图形的体积或者面积相等. 相遇问题2.A、B两地间的公路长为375 km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从A，B两地同时出发沿公路相向而行，轿车的平均速度为90 km/h，公共汽车的平均速度为60 km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？解方程，得x＝2.5.答:两车出发后2.5小时相遇.解:设两车出发后x h相遇，根据题意，得90x＋60x＝375，[变式演练]在上面的问题中，若公共汽车比轿车早出发1小时，那么公共汽车开出多长时间后与轿车相遇？解:设公共汽车开出x小时后与轿车相遇，根据题意，得60x＋90(x－1)＝375.  方法归纳交流　怎样分析路程问题中的数量关系？线段示意图.画线段示意图. 追及问题3.学校科技小组的同学乘公共汽车去较远的省城参观科技展览.小明因为特殊原因要晚出发半小时，但他在同一地点乘坐了速度更快的高速客车追赶大家.公共汽车和高速客车的速度分别是60 km/h和80 km/h，高速客车在出发后多少小时可追上公共汽车？追上的地点距出发点有多远？解方程，得x＝1.5，80x＝80×1.5＝120.答:略.解:设高速客车出发后x h追上公共汽车，根据题意，得80x＝60(x＋0.5)，[变式演练]在上面的问题中，设高速客车在距出发点y km处追上公共汽车，仍对上面的问题列方程求解.  答:略.方法归纳交流　相遇问题和追及问题中的等量关系有什么不同？相遇问题中的等量关系:两车行驶的路程之和等于总路程；追及问题中的等量关系:两车行驶的路程相等.知识点1　列一元一次方程解决实际问题1. 植树节这天，七年级170名学生参加义务植树活动，如果一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵.若正好每个树坑种一棵树，那么该年级的男生、女生各有多少名？(1)审题.审清题意，找出已知量和未知量.(2)设未知数.设该年级的男生有 x 名，那么女生有 ⁠ 名.(3)列方程.根据相等关系，列方程为 ⁠.(4)解方程.解得 x ＝ ，则女生有 名.(5)检验.将解得的未知数的值放入实际问题中进行验证.(6)答.答：该年级的男生有 名，女生有 名.(170－ x )　3 x ＝7(170－ x )　119　51　119　51　 返回2. [2023·成都]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长 x 尺，则可列方程为(　A　)A 返回3. 轮船沿江从 A 港顺流行驶到 B 港，比从 B 港返回 A 港少用3小时，若船在静水中的速度为26千米/时，水速为2千米/时，求 A 港和 B 港相距多少千米.设 A 港和 B 港相距 x 千米.根据题意，可列出的方程是(　A　)【点拨】设 A 港和 B 港相距 x 千米，  【答案】A 返回 上面所列方程中正确的有(　A　)  【点拨】 【答案】A 返回5. [新考法 等积法]根据图中给出的信息，可得正确的方程是(　A　) 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！