人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式一课一练，文件包含人教A版必修第一册高一数学上学期同步课后巩固提升练习22基本不等式原卷版docx、人教A版必修第一册高一数学上学期同步课后巩固提升练习22基本不等式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1.已知a ,b为实数，且a⋅b≠0，则下列命题错误的是 ( )
A．若a>0 ,b>0，则a+b2≥ab B．若a+b2≥ab，则a>0 ,b>0
C．若a≠b，则a+b2>ab D．若a+b2>ab，则a≠b
答案 C
2. 已知x≥1，则当x+4x取得最小值时，x的值为( )
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 x≥1，则x+4x≥4，当且仅当x=4x即x=2时取得最小值．故选：B．
3.已知a≥0 ,b≥0，且a+b=2，则( )
A. ab≤12B. ab≥12C. a2+b2≥2D. a2+b2≤3
答案 C
解析 由a≥0 ,b≥0，且a+b=2
∴4=(a+b)2=a2+b2+2ab≤2a2+b2，当且仅当a=b=1时等号成立，∴a2+b2≥2.
4.下列命题正确的是( )
A．函数y=x+1x的最小值为2 B．若a ,b∈R且ab>0，则ba+ab≥2
C．函数x2+2+1x2+2的最小值为2 D．函数y=2−3x−4x的最小值为2－43
答案 B
解析 A错误，当x0，所以ba>0 ,ab>0，且ba+ab≥2；C错误，
若运用基本不等式，需x2+22=1，x2=−1无实数解；D错误，y=2−3x+4x≤2−43 答案：B
5. 若a>0 ,b>0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是 ( )
A．1ab≤14 B．1a+1b≤1 C．ab≥2 D．a2+b2≥8
答案 D
解析 方法一：取特殊值排除法，
令a=1 ,b=3，经过检验ABC项都错，D对，故选D.
方法二：∵a+b=4，∴4=a+b≥2ab⇒ab≤2，所以C错；
ab≤2⇒ab≤4⇒1ab≥14，所以A错；1a+1b=1a+1b×1=1a+1ba+b4=142+ba+ab≥14(2+2)=1，所以B错；a2+b2≥2ab≥8，所以D对.
二、多选题
6.设a>0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是( )
A．1a+1b的最小值为2B．2a+1b的最小值为2
C．1a+2b的最小值为94D．ba+1+ab+1>87恒成立
答案 BC
解析 因为a>0，b>0，且a+2b=4，
对于A，1a+1b=14(1a+1b)(a+2b)=14(3+2ba+ab)≥14(3+22)，
当且仅当a=42−4 ,b=4−22时取等号，故选项A错误；
对于B，2a+1b=14(2a+1b)(a+2b)=14(4+4ba+ab)≥14(4+4)=2，
当且仅当a=2 ,b=1时取等号，故选项B正确；
对于C，1a+2b=14(1a+2b)(a+2b)=14(5+2ba+2ab)=14(5+4)=94，
当且仅当a=43 ,b=43时取等号，故选项C正确；
对于D，当a=43 ,b=43时，a+2b=4，但ba+1+ab+1=4343+1+4343+1=87，故选项D错误．故选：BC．
三、填空题
7.已知a ,b∈R，如果ab=1，那么a+b的最小值为_____；如果a+b=1，那么ab的最大值为_____．
答案 2, 14
解析 因为a ,b∈R，所以a+b2≥ab，所以a+b≥2ab=2.
故当ab=1时，a+b取最小值2，此时a=b=1.又当a+b=1时，ab≤a+b2=12.所以ab≤14.
8.已知x>2，则y=x+1x−2的最小值是 ．
答案 4
解析 ∵x>2 ,∴x−2>0，∴y=x+1x−2=x−2+1x−2+2≥2+2=4(当x−2=1x−2，
即x=3时取到等号).∴y=x+1x−2的最小值是4.
9.若正实数a ,b，满足a+b=1，则b3a+3b的最小值为
答案 5
解析 根据题意，若正实数a，b，满足a+b=1，则b3a+3b=b3a+3a+3bb=b3a+3ab+3≥2×b3a×3ab+3=5，
当且仅当b=3a=34时等号成立，即b3a+3b的最小值为5.
四、解答题
10.设x>−1，求y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.
答案 9
解析 ∵x>−1 ,∴x+1>0， 设x+1=t>0，则x=t−1，于是有
y=(t+4)(t+1)t=t2+5t+4t=t+4t+5≥2t⋅4t+5=9 当且仅当t=4t，即t=2时取等号，此时x=1．
∴当x=1时，函数取得最小值是9．
11.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数：
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
答案 (1) y=225x+3602x−360(x>0). (2) 当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
解析 (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y2=45x+180x−2+180⋅2a=225x+360a−360
由已知xa=360，得a=360x，
所以y=225x+3602x−360(x>0)
(II) ∵x>0 ,∴225x+3602x≥2225×3602=10800
∴y=225x+3602x−360≥10440.当且仅当225x=3602x时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1.设x>0 ,y>0，下列不等式中等号能成立的有( )
①(x+1x)(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；③x2+9x2+5≥4；④x+y+2xy≥4；
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案 C
解析 设x>0，y>0，x+1x≥2 ,y+1y≥2，所以①成立，
x+y1x+1y=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，
x2+5+4x2+5=x2+5+4x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，
x+y+2xy≥2xy+2xy≥4，当x=y=1时成立，故正确的有三个，故选：C．
2.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x( )
A．都大于4B．至少有一个大于4
C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4
答案 C
解析 假设三个数1x+4y0 ,ab+2a+b=4，则a+b的最小值为( )
A．2B．6−1C．26−2D．26−3
答案 D
解析 ∵a ,b=R∗ ,ab+2a+b=4，∴b(a+1)=4－2a，
∴b=4−2aa+1=−2a−4a+1=−2(a+1)−6a+1=−2+6a+1，∴a+b=a−2+6a+1=a+1+6a+1−3
∵a>0 ,b>0，∴a+b≥2(a+1)⋅6a+1−3=26−3
当且仅当a+1=6a+1即a=6−1时″=″，故选：D．
5.若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为( )
A．16B．14C．15D．13
答案 C
解析 令t=x−1，则x=t+1，t>0，原式=t(t+1)2+(t+1)−1=tt2+3t+1=1t+1t+3≤12t⋅1t+3=15，
当且仅当t=1即x=2时等号成立，故选：C．
二、多选题
6.下列说法正确的是( )
A．x+1x(x>0)的最小值是2 B．x2+2x2+2的最小值是2
C．x2+5x2+4的最小值是2 D．2−3x−4x的最大值是2−43
答案 AB
解析 由基本不等式可知，x>0时，x+1x≥2，当且仅当x=1x即x=1时取等号，故A正确；
B：x2+2x2+2=x2+2≥2，当x=0时取得等号，故B正确；
C：x2+5x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t≥2，
因为y=t+1t在[2 ,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52，故C错误；
D：2−(3x+4x)在x1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
答案 3
解析 x+1x−1≥a恒成立⇔x+1x−1min≥a，因为x >1，即x−1 >0，
所以x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2(x−1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x−1=1x−1，即x=2时，等号成立．
所以a≤3，即a的最大值为3.答案：3
8.已知ab>0，a+b=5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．
答案 3+227
解析 ∵ab>0，a+b=5知a>0 ,b>0，又a+1+b+1=7，∴17(a+1+b+1)=1，
而2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)2a+1+1b+1=173+2(b+1)a+1+a+1b+1≥17(3+22)，
经检验等号成立，故填3+227．
9.若实数x ,y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值___________．
答案 233
解析 ∵(x+y)2=x2+y2+2xy=1−xy+2xy=1+xy，∴(x+y)2−1=xy，∵xy≤(x+y)24，
∴(x+y)2−1≤(x+y)24，解得(x+y)2≤43，∴−233≤x+y≤233，则x+y的最大值为233.
四、解答题
10. 设a ,b ,c均为正数，且a+b+c=1.证明：
(1) ab+bc+ac≤13；(2) a2b+b2c+c2a≥1.
证明 (1)由a2+b2≥2ab ,b2+c2≥2bc ,c2+a2≥2ca.
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1，
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤13.
(2)因为a2b+b≥2a，b2c+c≥2b ,c2a+a≥2c
故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c)，
即a2b+b2c+c2a≥a+b+c，所以a2b+b2c+c2a≥1.
11.已知正实数a ,b满足：a+b=1，求2aa2+b+ba+b2的最大值.
答案 23+33
解析 2aa2+b+ba+b2=2aa2+1−a+1−aa+(1−a)2=a+1a2−a+1，
由题意得，00，且x+2y=1．则下列选项正确的是( )
A．1x+1y的最小值为42 B．x2+y2的最小值为15
C．x−2yx2+y2>1D．2x+1+4y⩾4
答案 BD
解析 对于A：已知x,y∈R，x>0,y>0，且x+2y=1，
所以1x+1y=x+2yx+x+2yy=1+3+2yx+xy⩾4+22，当且仅当x2=2y2等号成立，故A错误；
对于B:x2+y2=(1−2y)2+y2=5y2−4y+1=5y−252+15，当y=25时，最小值为15；故B正确；
对于C：当x=12,y=14时，x−2yx2+y2>1不成立，故C错误；
对于D:2x+1+4y=2x+1+22y⩾22x+2y+1=4，当且仅当y=12时，等号成立，故D正确．故选：BD．
3. (多选)已知a>b>0，a+b+1a+1b=5，则下列不等式成立的是( )
A．11b+b2
答案 AB
解析 设t=a+b，所以1a+1b=1t(a+b)1a+1b=1t2+ba+ab，
又因为ba+ab⩾2ba⋅ab=2，当且仅当ba=ab等号成立，即a=b，又因为a>b>0，所以等号不成立，
即2+ab+ba>4,1a+1b>4t，所以a+b+1a+1b>t+4t，即t+4t