高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时课后作业题，共6页。试卷主要包含了函数y=xx+1的最大值为等内容，欢迎下载使用。

A组


1.当x<0时,y=12x+4x的最大值为( )


A.-4B.-8C.-83D.-16


2.函数y=xx+1的最大值为( )


A.25B.12C.22D.1


3.当a>0时,关于代数式2aa2+1,下列说法正确的是( )


A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值


C.有最小值也有最大值D.无最小值也无最大值


4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为( )


A.3B.4C.5D.6


5.若对x>0,y>0,有(x+2y)2x+1y≥m恒成立,则m的取值范围是( )


A.m≤8B.m>8C.m<0D.m≤4


6.若函数y=x+1x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a= .


7.已知a>0,b>0,1a+2b=2,则a+2b的最小值为 .


8.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上 和 .


9.(1)求函数y=14x-5+4xx>54的最小值;


(2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;


(3)已知x>0,y>0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.
































10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).





(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;


(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?














B组


1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )


A.1ab≤14B.1a+1b≤1C.ab≥2D.a2+b2≥8


2.已知x,y>0,x+y=1,若4xy

A.t>1B.t<1C.t<2D.t>2


3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )


A.245B.285C.5D.6


4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )


A.1B.3C.6D.12


5.函数y=x2+2x+2x+1(x>-1)的图象的最低点坐标是 .


6.设a>1,b>0,若a+b=2,则2a-1+1b的最小值为 .


7.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.


























8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.


(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;


(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?


参考答案


A组


1.当x<0时,y=12x+4x的最大值为( )


A.-4B.-8C.-83D.-16


解析:∵x<0,∴-x>0,


∴y=--12x+(-4x)≤-2-12x·(-4x)=-83.


答案:C


2.函数y=xx+1的最大值为( )


A.25B.12C.22D.1


解析:当x=0时,y=0;当x>0时,x+1≥2x>0,则y≤x2x=12,当且仅当x=1时,等号成立.


故函数y=xx+1的最大值为12.


答案:B


3.当a>0时,关于代数式2aa2+1,下列说法正确的是( )


A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值


C.有最小值也有最大值D.无最小值也无最大值


解析:∵a>0,


∴2aa2+1=2a+1a≤22a·1a=1,当且仅当a=1a,即a=1时,取等号,故a>0,代数式2aa2+1有最大值1,没有最小值.


答案:A


4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为( )


A.3B.4C.5D.6


解析:由题意可知,yx=-x+25x+12≤-2x×25x+12,当且仅当x=25x时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.


答案:C


5.若对x>0,y>0,有(x+2y)2x+1y≥m恒成立,则m的取值范围是( )


A.m≤8B.m>8C.m<0D.m≤4


解析:∵(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥4+24yx·xy=8,∴m≤8.


答案:A


6.若函数y=x+1x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a= .


解析:y=x+1x-2=x-2+1x-2+2.


∵x>2,∴x-2>0.


∴y=x-2+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=4,


当且仅当x-2=1x-2,即x=3时,“=”成立.


又y在x=a处取最小值,∴a=3.


答案:3


7.已知a>0,b>0,1a+2b=2,则a+2b的最小值为 .


解析:∵a>0,b>0,1a+2b=2,


∴a+2b=12(a+2b)1a+2b=125+2ba+2ab≥12(5+4)=92,当且仅当2ba=2ab,且1a+2b=2,即a=b=32时,取等号,∴a+2b的最小值为92.


答案:92


8.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上 和 .


解析:设两数为x,y,即4x+9y=60,


1x+1y=1x+1y4x+9y60=16013+4xy+9yx≥160×(13+12)=512,


当且仅当4xy=9yx,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.


答案:6 4


9.(1)求函数y=14x-5+4xx>54的最小值;


(2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;


(3)已知x>0,y>0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.


解:(1)∵x>54,4x-5>0,


∴y=14x-5+4x=14x-5+(4x-5)+5≥7,


当且仅当4x-5=14x-5,即x=32时,取等号.


∴y的最小值为7.


(2)∵x>0,a>2x,


∴y=x(a-2x)=12·2x·(a-2x)≤12·2x+(a-2x)22=a28,


当且仅当x=a4时取等号,∴y的最大值为a28.


(3)方法一:∵1x+9y=1,


∴x+y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy.


∵x>0,y>0,∴yx+9xy≥2yx·9xy=6.


当且仅当yx=9xy,即y=3x时,取等号.


又1x+9y=1,∴x=4,y=12.


∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.


方法二:由1x+9y=1,得x=yy-9.


∵x>0,y>0,∴y>9.


x+y=yy-9+y=y+y-9+9y-9=y+9y-9+1=(y-9)+9y-9+10.


∵y>9,∴y-9>0,


∴y-9+9y-9+10≥2(y-9)·9y-9+10=16,


当且仅当y-9=9y-9,即y=12时,取等号.


又1x+9y=1,∴x=4.


∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.


10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).





(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;


(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?


解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4 000,得a=2010x.


则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)·2010x+160


=80102x+5x+4 160(x>1).


(2)80102x+5x+4 160≥8010×22x×5x+4 160


=1 600+4 160=5 760.


当且仅当2x=5x,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.


所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.


B组


1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )


A.1ab≤14B.1a+1b≤1C.ab≥2D.a2+b2≥8


解析:4=a+b≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),即ab≤2,ab≤4,故1ab≥14,选项A,C不成立;


1a+1b=a+bab=4ab≥1,选项B不成立;


a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.


答案:D


2.已知x,y>0,x+y=1,若4xy

A.t>1B.t<1C.t<2D.t>2


解析:由基本不等式,得4xy≤4·x+y22=1,当且仅当x=y=12时,等号成立,所以4xy的最大值为1,则t>1.


因此实数t的取值范围是t>1.


答案:A


3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )


A.245B.285C.5D.6


解析:由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x=95+45+3x5y+12y5x≥135+23x5y·12y5x=135+125=5,当且仅当x=1,y=12时,取等号.


故3x+4y的最小值是5.


答案:C


4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )


A.1B.3C.6D.12


解析:∵x2+2xy-3=0,∴y=3-x22x,


∴2x+y=2x+3-x22x=3x2+32x=3x2+32x≥23x2·32x=3.


当且仅当3x2=32x,即x=1时,取等号.


答案:B


5.函数y=x2+2x+2x+1(x>-1)的图象的最低点坐标是 .


解析:由题意得,y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+1≥2,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐标为(0,2).


答案:(0,2)


6.设a>1,b>0,若a+b=2,则2a-1+1b的最小值为 .


解析:由a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0,


则2a-1+1b=2a-1+1b[(a-1)+b]=3+2ba-1+a-1b≥3+22ba-1·a-1b=3+22,


当且仅当2ba-1=a-1b,且a+b=2,即a=3-2,b=2-1时取得最小值3+22.


答案:3+22


7.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.


解:∵x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayx≥a+b+2ab=(a+b)2,∴(a+b)2=18.


又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.


8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.


(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;


(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?


解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为32Q+3Q×150%+xQ×50%,


所以年销售收入为


32Q+3Q×150%+xQ×50%·Q=32(32Q+3)+12x.


所以年利润


W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x=12(32Q+3-x)=-x2+98x+352(x+1)(x≥0).


(2)令x+1=t(t≥1),则W=-(t-1)2+98(t-1)+352t=50-t2+32t.


因为t≥1,所以t2+32t≥2t2·32t=8,即W≤42,当且仅当t2=32t,即t=8时,W有最大值42,此时x=7.


故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元