人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时学案，共14页。


知识点 用基本不等式求最值
用基本不等式eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)求最值应注意：
(1)x，y是正数．
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
思考1 利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？
答案 利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等．
思考2 x＋eq \f(1,x)的最小值是2吗？
答案 只有当x>0时，才有x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，即x＋eq \f(1,x)的最小值是2；
当x<0时，x＋eq \f(1,x)没有最小值，此时x＋eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))))≤－2eq \r(－x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))))＝－2，
即当x<0时，x＋eq \f(1,x)的最大值是－2.
1．不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的前提条件为________．
答案 x>2y
解析 因为不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y>0，即x>2y.
2．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________．
答案 2eq \r(10)
解析 a＋b≥2eq \r(ab)＝2eq \r(10)，
当且仅当a＝b＝eq \r(10)时，等号成立．
3．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________．
答案 50
解析 ∵m2＋n2≥2mn，
∴mn≤eq \f(m2＋n2,2)＝50.
当且仅当m＝n＝±5eq \r(2)时，等号成立．
4．已知0答案 eq \f(1,8)
解析 由题意知1－2x>0，则y＝x(1－2x)＝eq \f(1,2)·2x·(1－2x)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq \f(1,8)，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝eq \f(1,4)时，等号成立．
一、利用基本不等式求最值
例1 (1)若x<0，求eq \f(12,x)＋3x的最大值；
(2)若x>2，求eq \f(1,x－2)＋x的最小值；
(3)已知x>0，y>0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1.求x＋2y的最小值．
解 (1)因为x<0，
所以eq \f(12,x)＋3x＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,x)))＋－3x))
≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,x)))·－3x)＝－12，
当且仅当－eq \f(12,x)＝－3x，即x＝－2时，等号成立，
所以eq \f(12,x)＋3x的最大值为－12.
(2)因为x>2，所以x－2>0，
eq \f(1,x－2)＋x＝eq \f(1,x－2)＋x－2＋2≥2eq \r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立，
所以eq \f(1,x－2)＋x的最小值为4.
(3)因为x>0，y>0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))＝8＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)＋2＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18，
当且仅当eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝12，y＝3时等号成立，
所以x＋2y的最小值为18.
延伸探究
1．若把例1(3)的条件“eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
解 因为x>0，y>0，所以eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))
＝8＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)＋2＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18，
当且仅当eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)，x＋2y＝1，即x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,6)时，等号成立，所以eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)的最小值为18.
2．若把例1(3)的条件“eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1”改为“x＋8y＝xy”，其他条件不变，求x＋2y的最小值．
解 因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy，
可得eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，
所以x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)
≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝3))时，等号成立，
所以当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.
(学生)
反思感悟 基本不等式求最值的两种常用方法
(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．
(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
跟踪训练1 (1)当x>0时，求eq \f(12,x)＋4x的最小值；
(2)当x>1时，求2x＋eq \f(8,x－1)的最小值．
解 (1)∵x>0，∴eq \f(12,x)>0,4x>0.
∴eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3).
当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时，等号成立，
∴当x>0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为8eq \r(3).
(2)2x＋eq \f(8,x－1)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(4,x－1)))＋2，
∵x>1，∴x－1>0，
∴2x＋eq \f(8,x－1)≥2×2eq \r(4)＋2＝10，
当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时，等号成立．
∴当x>1时，2x＋eq \f(8,x－1)的最小值为10.
二、基本不等式的实际应用
例2 2016年11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
解 (1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1，
生产m千克该产品需要的时间是eq \f(m,x)，
所以y＝eq \f(m,x)(kx2＋9)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为
y＝1 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))≥1 000×2eq \r(9)＝6 000(千克)，
当且仅当x＝eq \f(9,x)，即x＝3时，等号成立，
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．
(学生)
反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
跟踪训练2 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解 设矩形的一边长为x m，则另一边长为eq \f(800,x) m，
因此种植蔬菜的区域宽为(x－4)m，长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(800,x)－2))m.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4>0，,\f(800,x)－2>0，))得4所以其面积S＝(x－4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(800,x)－2))
＝808－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3 200,x)))
≤808－2eq \r(2x·\f(3 200,x))＝808－160＝648(m2)．
当且仅当2x＝eq \f(3 200,x)，即x＝40时，等号成立．
因此当矩形温室的两边长分别为40 m,20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
三、基本不等式的综合应用
例3 已知4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________．
答案 36
解析 4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，
当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即a＝4x2＝36时，等号成立，
∴a＝36.
(学生)
反思感悟 求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
跟踪训练3 已知a>0，b>0，若不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 B
解析 因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，
所以要使eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，
只需m≤(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))恒成立，
而(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝4＋eq \f(2a,b)＋eq \f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，
当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
基本不等式在实际问题中的应用
典例 如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．
(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试将y表示成x的表达式．
(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
解 (1)由题意，得由x>0，且l－3x>0，可得x的范围为0(2)y＝x(l－3x)＝eq \f(1,3)×3x(l－3x)≤eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋l－3x,2)))2
＝eq \f(l2,12)，当且仅当3x＝l－3x，即x＝eq \f(l,6)时，等号成立，
此时l－3x＝eq \f(l,2)，
因此当围成的长方形场地的长为eq \f(l,2)，宽为eq \f(l,6)时，
这块长方形场地的面积最大，
这时的长为l－3x＝eq \f(l,2)，最大面积为eq \f(l2,12).
[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其一般步骤是：建模→解模→回归验证．
1．下列等式中最小值为4的是( )
A．y＝x＋eq \f(4,x) B．y＝2t＋eq \f(1,t)
C．y＝4t＋eq \f(1,t)(t>0) D．y＝t＋eq \f(1,t)
答案 C
解析 A中x＝－1时，y＝－5<4；
B中t＝－1时，y＝－3<4；
C中y＝4t＋eq \f(1,t)≥2eq \r(4t·\f(1,t))＝4，
当且仅当t＝eq \f(1,2)时，等号成立；
D中t＝－1时，y＝－2<4.
2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
答案 A
解析 ∵eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)(x>0，y>0)，
∴xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,2)))2＝400.
当且仅当x＝y＝20时，等号成立．
3．设x>0，则3－3x－eq \f(1,x)的最大值是( )
A．3 B．3－2eq \r(2)
C．－1 D．3－2eq \r(3)
答案 D
解析 ∵x>0，∴3x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(3x·\f(1,x))＝2eq \r(3)，
当且仅当x＝eq \f(\r(3),3)时，等号成立，
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤－2eq \r(3)，
则3－3x－eq \f(1,x)≤3－2eq \r(3).
4．如果a>0，那么a＋eq \f(1,a)＋2的最小值是________．
答案 4
解析 因为a>0，
所以a＋eq \f(1,a)＋2≥2eq \r(a·\f(1,a))＋2＝2＋2＝4，
当且仅当a＝1时等号成立．
5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
答案 5 8
解析 每台机器运转x年的年平均利润为
eq \f(y,x)＝18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，且x>0，
故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)＝8，
当且仅当x＝5时，等号成立，
所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．
1．知识清单：
(1)利用基本不等式求最值．
(2)基本不等式的实际应用．
(3)基本不等式的综合应用．
2．方法归纳：配凑法、常值代换法．
3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．
1．已知x>0，则eq \f(9,x)＋x的最小值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 ∵x>0，∴eq \f(9,x)＋x≥2 eq \r(x·\f(9,x))＝6，
当且仅当x＝eq \f(9,x)，即x＝3时，等号成立．
2．已知x>－2，则x＋eq \f(1,x＋2)的最小值为( )
A．－eq \f(1,2) B．－1 C．2 D．0
答案 D
解析 ∵x>－2，∴x＋2>0，
∴x＋eq \f(1,x＋2)＝x＋2＋eq \f(1,x＋2)－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝－1时，等号成立．
3．若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1 B．2eq \r(2) C．2 D．4
答案 A
解析 由基本不等式得，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
4．(多选)设y＝x＋eq \f(1,x)－2，则( )
A．当x>0时，y有最小值0
B．当x>0时，y有最大值0
C．当x<0时，y有最大值－4
D．当x<0时，y有最小值－4
答案 AC
解析 当x>0时，y＝x＋eq \f(1,x)－2≥2eq \r(x·\f(1,x))－2
＝2－2＝0，
当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立，故A正确，B错误；
当x<0时，y＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时，等号成立，故C正确，D错误．
5．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
答案 B
解析 (1＋x)(1＋y)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋x＋1＋y,2)))2
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2＋x＋y,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋8,2)))2＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，等号成立．
6．已知a>0，b>0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)的最小值是________．
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)≥2eq \r(\f(1,ab))＋2eq \r(ab)≥4eq \r(\f(1,\r(ab))·\r(ab))＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
7．若正数m，n满足2m＋n＝1，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为________．
答案 3＋2eq \r(2)
解析 ∵2m＋n＝1，
则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(2m＋n)
＝3＋eq \f(2m,n)＋eq \f(n,m)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当n＝eq \r(2)m，即m＝1－eq \f(\r(2),2)，n＝eq \r(2)－1时，等号成立，
即最小值为3＋2eq \r(2).
8．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
答案 160
解析 设底面矩形的一边长为x，
由容器的容积为4 m3，高为1 m，得另一边长为eq \f(4,x) m.
记容器的总造价为y元，则
y＝4×20＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))×1×10＝80＋20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))
≥80＋20×2eq \r(x·\f(4,x))＝160，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时，等号成立．
因此当x＝2时，y取得最小值160，
即容器的最低总造价为160元．
9．(1)已知x<3，求eq \f(4,x－3)＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值．
解 (1)∵x<3，∴x－3<0，
∴eq \f(4,x－3)＋x＝eq \f(4,x－3)＋(x－3)＋3
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3
≤－2eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，
当且仅当eq \f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时，等号成立，
∴eq \f(4,x－3)＋x的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，x＋y＝4，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(3,y)))·eq \f(x＋y,4)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(y,x)＋\f(3x,y)))≥1＋eq \f(2\r(3),4)＝1＋eq \f(\r(3),2)，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(3x,y)，即x＝2(eq \r(3)－1)，y＝2(3－eq \r(3))时等号成立．
故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为1＋eq \f(\r(3),2).
10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？
解 (1)由题意得，xy＝1 800，b＝2a，
则y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝a(x－4)＋b(x－6)＝a(x－4)＋2a(x－6)＝(3x－16)a＝(3x－16)×eq \f(y－6,3)＝xy－6x－eq \f(16,3)y＋32＝1 832－6x－eq \f(16,3)y，
其中6(2)由(1)可知，66x＋eq \f(16,3)y≥2eq \r(6x·\f(16,3)y)＝2eq \r(6×16×600)＝480，
当且仅当6x＝eq \f(16,3)y时等号成立，
∴S＝1 832－6x－eq \f(16,3)y≤1 832－480＝1 352，
此时9x＝8y，xy＝1 800，解得x＝40，y＝45，
即x为40，y为45.
11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)的上确界为( )
A．－eq \f(9,2) B.eq \f(9,2) C.eq \f(1,4) D．－4
答案 A
解析 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以eq \f(1,2a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))×(a＋b)＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2a)＋\f(2a,b)))
≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(b,2a)×\f(2a,b))＝eq \f(9,2)，
当且仅当b＝2a，即a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)时，等号成立，
因此有－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)≤－eq \f(9,2)，
即－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)的上确界为－eq \f(9,2).
12．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有( )
A．(1,4) B．(6,8)
C．(7,12) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))
答案 AC
解析 设矩形的长和宽分别为x，y，
则x＋y＝eq \f(1,2)l，S＝xy.
由xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2知，S≤eq \f(l2,16)，故AC成立．
13．已知x>－1，则eq \f(x＋10x＋2,x＋1)的最小值为________．
答案 16
解析 eq \f(x＋10x＋2,x＋1)＝eq \f(x＋1＋9x＋1＋1,x＋1)
＝eq \f(x＋12＋10x＋1＋9,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(9,x＋1)＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴(x＋1)＋eq \f(9,x＋1)＋10≥2eq \r(9)＋10＝16.
当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2时，等号成立．
14．若对∀x>－1，不等式x＋eq \f(1,x＋1)－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤0
解析 因为x>－1，所以x＋1>0，
则x＋eq \f(1,x＋1)－1＝x＋1＋eq \f(1,x＋1)－2
≥2eq \r(x＋1×\f(1,x＋1))－2＝2－2＝0，
当且仅当x＋1＝eq \f(1,x＋1)，即x＝0时等号成立，
由题意可得a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)－1))min＝0，即a≤0.
15．若不等式ax2＋eq \f(1,x2＋1)≥eq \f(2－3a,3)(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥\f(1,9)))))
解析 原不等式可转化为a(x2＋1)＋eq \f(1,x2＋1)≥eq \f(2,3)，
又a>0，
则a(x2＋1)＋eq \f(1,x2＋1)≥2eq \r(ax2＋1·\f(1,x2＋1))＝2eq \r(a)，
当且仅当a(x2＋1)＝eq \f(1,x2＋1)，
即a＝eq \f(1,x2＋12)时，等号成立，
则根据恒成立的意义可知2eq \r(a)≥eq \f(2,3)，解得a≥eq \f(1,9).
16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
解 设2020年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－eq \f(2,m＋1)，
又每件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)元，
∴y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.5×\f(8＋16x,x)))－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,m＋1)))－m
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,m＋1)＋m＋1))＋29，
∵m≥0，eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq \r(16)＝8，
当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3时，等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．