高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时课后测评

二次函数、一元二次方程与不等式

学习目标：

1.掌握一元二次不等式的一般形式，理解二次函数的零点；

2.理解三个二次之间的关系，掌握一元二次不等式的解法，

3.理解一元二次不等式求解过程蕴含的分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想.

知识要点：

1.一元二次不等式的一般形式为_________或___________，其中为常数且.

2.一般地，对于二次函数，我们把使得____________的实数叫做二次函数的零点.

3.完成下面的表格：

4.三个二次之间的关系：_______________________________________________________.

典型例题：

题组一　不含参数的一元二次不等式的解法

例1．求下列不等式的解集：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

变式：解下列不等式(组)：

（1）

（2）.

题组二　含参数的一元二次不等式的解法

例2． 已知函数．

（1）若的解集是，求不等式的解集；

（2）若，，解关于x的不等式．

变式：解关于的不等式.

题组三　不等式的恒成立问题与有解问题

例3. 已知关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围.

变式：若不等式对一切实数x均成立，求实数a的范围．

题组四　其他不等式的解法

例4.解下列不等式：

（1）；（2）.

变式：解下列关于x的不等式：

（1）；

（2）.

当堂检测：

1．解关于x的不等式.

（1）；（2）.

2．关于的不等式的解集为.

（1）求的值；

（2）求关于的不等式的解集．

3．若不等式的解集为．

（1）解不等式；

（2）的解集为，求取值范围，

4．已知关于的不等式．

（1）若不等式的解集为，求；

（2）当时，解此不等式．

参考答案：

知识要点：

1. 或，.

2. ，零点.

3.完成下面的表格：

4.一元二次不等式的解集的端点是对应方程的根，也是对应的二次函数的零点.

典型例题：

例1．（1）；（2）；（3）；（4）．

（1）令，解得：，，

又二次函数的图象开口方向向上，

的解集为.

（2）令，解得：，，

又二次函数的图象开口方向向下，

的解集为.

（3）令，解得：，，

又二次函数的图象开口方向向上，

的解集为.

（4）令，解得：，

又二次函数的图象开口方向向下，

的解集为.

变式：（1）由，解得或,

解得,

∴原不等式的解集为或；

（2）即，即,解得或;

即，即,解得,

或或，

所以不等式的解集为或

例2．（1）由题意知：，2是方程的两根，

由根与系数的关系，得，

解得，，代入不等式，

可得：，化简得，解得，

故所求不等式的解集为：，．

（3）若，，则不等式化为，

，

当时，不等式化为，则不等式的解集为，

当时，两根为，，

当时，，则不等式的解集为或，

当时，，则不等式的解集为或，

综上得：时，不等式的解集为，

时，不等式的解集为或，

时，则不等式的解集为或．

变式：当时，不等式的解为；

当时，不等式对应方程的根为或2，

①当时，不等式即 的解集为；

②当时，不等式的解集为 ；

③当时，不等式的解集为 ；

④当时，不等式的解集为 .

综上所述，当时，不等式解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

例3. 根据题意，分两种情况

①当时，即或时，

若，不等式变为，成立，符合条件；

若，不等式变为，解集为，不符合题意.

②当时，不等式为一元二次不等式，要使解集为R，

则对应二次函数的图象开口只能向上，且，

即且，

则或，且，

所以或，且，

即，

综上，实数的取值范围.

变式：,，则恒成立，

，即．

整理得:．

该式对一切实数x均成立，，即,

解得：.

例4.解（1）等价于，解得，

∴原不等式的解集为.

（2）∵，∴，∴，即.

此不等式等价于且，解得或，

∴原不等式的解集为或.

变式：（1）原不等式可化为，即，解得或，

所以原不等式的解集为.

（2）原不等式可化为，整理得，

由于

其恒为负值，故只要，即，解之得.

所以原不等式的解集为.

当堂检测：

1．（1）知：，

∴，又，

∴，解得或；

∴解集为.

（2），当时，不成立，解集为空集，

若，则：当，即时，；当，即时，解集为空集；

若，则且，有或；

∴综上知：时，或；时，；时，；

2．解：（1）关于的不等式的解集为，

∴，且﹣1和2是方程的两实数根，

由根与系数的关系知，，解得；

（2）由（1）知，时，

不等式为，

∴不等式的解集是或.

3．（1）；（2）.

解：若不等式的解集为，

则的根为，

，解得，

（1）代入，不等式为，

解得或，

即不等式的解集为；

（2）代入，不等式为，

的解集为，

，

解得.

4．（1）由题得，，解集为，则有，解得；（2）由题，：当时，不等式化为，解得；当时，不等式等价于，若，解得；若，解得，若，解得；当时，不等式等价于，解得或.综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为空集，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.