人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀课时作业

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀课时作业，文件包含人教A版高中数学必修第一册同步讲义22基本不等式原卷版doc、人教A版高中数学必修第一册同步讲义22基本不等式原卷版pdf、人教A版高中数学必修第一册同步讲义22基本不等式教师版doc、人教A版高中数学必修第一册同步讲义22基本不等式教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。


知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号）其中 SKIPIF 1 < 0 叫做正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的几何平均数； SKIPIF 1 < 0 叫做正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的算数平均数．
如果 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号）
特别的，如果 SKIPIF 1 < 0 ,用 SKIPIF 1 < 0 分别代替 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，“ SKIPIF 1 < 0 ”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正数，如果积 SKIPIF 1 < 0 等于定值 SKIPIF 1 < 0 ，那么当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，和 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
②已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正数，如果和 SKIPIF 1 < 0 等于定值 SKIPIF 1 < 0 ，那么当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，积 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
知识点三：基本不等式链
SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号）
题型01对基本不等式的理解
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 成立的条件为 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确.故选：D
【典例2】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是4
B．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为0
【答案】BD
【详解】A.对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以A选项错误.
B.由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以B选项正确.
C. SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 无解，所以等号不成立，所以C选项错误.
D.由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以D选项正确.故选：BD
【变式1】（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】A. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故错误；B. SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，故正确；C. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故错误；D.由重要不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
故选：B
题型02由基本不等式比较大小
【典例1】（多选）（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 为正实数， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中对一切满足条件的 SKIPIF 1 < 0 恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】A选项，由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，A选项正确.
B选项， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误.
C选项，由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，C选项正确.
D选项， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误.故选：AC
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，下列各式中最大的是_____.(填序号)
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】④
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由基本不等式可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由上可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四个式子中 SKIPIF 1 < 0 最大．故答案为：④.
【变式1】（多选）（2022秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即AB错误，D正确.对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确.故选：CD
题型03由基本不等式证明不等关系
【典例1】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是实数.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ，并指出等号成立的条件；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1)证明见解析，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，不等式等号成立(2)4
【详解】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，不等式中等号成立.
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，不等式中等号成立.所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4.
【典例2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)9(2)证明见解析
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为9.
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.故 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 都是正数，且 SKIPIF 1 < 0 .
求证：（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，但 SKIPIF 1 < 0 ，因此不能取等号， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，但 SKIPIF 1 < 0 ，因此不能取等号， SKIPIF 1 < 0 .
题型04利用基本不等式求积的最大值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，因此，函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型05利用基本不等式求和的最小值
【典例1】（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．5B．3C．4D．9
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【典例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
【答案】3
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．故答案为：3
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______
【答案】8
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为8．故答案为: SKIPIF 1 < 0
题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值
【典例1】（2022·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的在最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值及此时 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求此函数的最小值及此时 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为5，此时 SKIPIF 1 < 0 ；（2）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为5，此时 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.故函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为5，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
故函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为5，此时 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】9
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，∴已知函数的最小值为9.故答案为：9.
题型07利用基本不等式求条件等式求最值
【典例1】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，变形得 SKIPIF 1 < 0 .由题意 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．故选：B.
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】3
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取到等号，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值3.故答案为：3
【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为正数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 故选：B
题型08基本不等式中的恒成立问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
【典例3】（2023·高三课时练习）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤－2 SKIPIF 1 < 0 或m≥2 SKIPIF 1 < 0 B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4D．－2 SKIPIF 1 < 0 ＜m＜2 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】∵x>0，y>0且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号），
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）对任意的正实数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”，即“ SKIPIF 1 < 0 ”时等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
题型09基本不等式的应用
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 SKIPIF 1 < 0 (单位：万元)与机器运转时间 SKIPIF 1 < 0 (单位：年)的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】每台机器运转 SKIPIF 1 < 0 年的年平均利润为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 万元.故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 SKIPIF 1 < 0 （单位：百万元）的函数 SKIPIF 1 < 0 （单位：百万元）： SKIPIF 1 < 0 ；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 SKIPIF 1 < 0 （单位：百万元）的函数 SKIPIF 1 < 0 （单位：百万元）： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为 SKIPIF 1 < 0 （百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为 SKIPIF 1 < 0 （百万元），写出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．
【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为 SKIPIF 1 < 0 百万元，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：由（1）可得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 （百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为 SKIPIF 1 < 0 （百万元）， SKIPIF 1 < 0 （百万元）．
【变式1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形 SKIPIF 1 < 0 ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米
【答案】C
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 米, SKIPIF 1 < 0 ，则种植花卉区域的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米,故选：C
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区 SKIPIF 1 < 0 ，该项目由图书陈列区 SKIPIF 1 < 0 （阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区 SKIPIF 1 < 0 面积最小时，则图书陈列区 SKIPIF 1 < 0 的边长为（ ）
A．20mB．50mC． SKIPIF 1 < 0 mD．100m
【答案】B
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
所以阅读区 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，当校园图书馆精品阅读区 SKIPIF 1 < 0 面积最小时，则图书陈列区 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
题型10对钩函数
【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于4，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C．
【典例2】（2023·高三课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，此时 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省万安中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最小值4B． SKIPIF 1 < 0 有最大值4C． SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .故选：D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 取得的最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为___________．
【答案】4
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为6.故答案为：4
题型11重点方法之凑配法
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．4D．8
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 上式取等号，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为0.故选：B.
【典例2】（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________， SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，不符合题意（舍去）；
当 SKIPIF 1 < 0 时，要使得 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为10，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2 SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选:A.
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．－2B．0C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．故选：B．
题型12重点方法之换元法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·江西·高一宁冈中学校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型13重点方法之“1”的妙用法
【典例1】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【典例2】（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等号成立.所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为正数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值为27．故选：C
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________；
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型14重点方法之消元法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号），所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，“=”成立，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型15易错题之忽视基本不等式中的“一正”
【典例1】（多选）（2023秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（ ）
A．由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以x＋ SKIPIF 1 < 0 ＝x＋2＋ SKIPIF 1 < 0 －2≤－2 SKIPIF 1 < 0 －2＝－4
B．由于 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0
C．由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 最小值为2
D．由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】对于A，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立正确；
对于B，正具备，但 SKIPIF 1 < 0 不为定值，故错误；对于C，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确.故选：AD
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型16易错题之忽视基本不等式中的“三相等”
【典例1】（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故C符合；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
【典例2】（2023·江西赣州·高三校联考期中）下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对A，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 等号成立；对B，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 等号成立；对C，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；对D，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，无解，等号不成立．故选：D．
题型17易错题之换元必换范围
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由对勾函数的图象知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2.2基本不等式
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习） SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值4.故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以充分性成立；由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以必要性不成立，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，故选:C.
4．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若两个正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取“＝”.故选：C
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用 SKIPIF 1 < 0 年的维修总费用为 SKIPIF 1 < 0 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【详解】由题意可得：该设备年平均费用 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选：C.
7．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号；
故选：C.
8．（2023·河北邯郸·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．9
【答案】C
【详解】依题意，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
【详解】A中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可知 SKIPIF 1 < 0 成立；
B中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立；
C中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可知 SKIPIF 1 < 0 成立；
D中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 成立.
故选：ABCD
10．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （不含端点A，B），使得 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交以 SKIPIF 1 < 0 为直径， SKIPIF 1 < 0 为圆心的半圆周于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .下面不能由 SKIPIF 1 < 0 直接证明的不等式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，由射影定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，A 正确，BCD 不正确．
故选：BCD．
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /1.5
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2023·高一单元测试）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1）7；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为7．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号．∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最值，已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为2B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为3D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时取得最小值4，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．故选：C．
2．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：由图知： SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
3．（多选）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）下列结论中，正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为8
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．已知正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为8，故A正确；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误．
对于C，因为正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故C正确.
对于D，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，故D正确.故选：ACD．
4．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 最取到等号.故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为 SKIPIF 1 < 0 万元与总座椅数 SKIPIF 1 < 0 千套，两者满足关系式： SKIPIF 1 < 0 ．15年的总维修费用为80万元，记 SKIPIF 1 < 0 为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用 SKIPIF 1 < 0 最小，并求出最小值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 千套时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为180万元
【详解】由题意得：建造成本费用为 SKIPIF 1 < 0 ，
使用管理费： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 千套时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为180万元．
6．（2023·全国·高三对口高考）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式可得， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
C综合素养
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将 SKIPIF 1 < 0 克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将 SKIPIF 1 < 0 克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于 SKIPIF 1 < 0 克B．小于 SKIPIF 1 < 0 克
C．大于等于 SKIPIF 1 < 0 克D．小于等于 SKIPIF 1 < 0 克
【答案】C
【详解】设天平左、右两边臂长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，小明、小芳放入的药品的克数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则由杠杆原理得： SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号. 故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】A
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.故选：A
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）北京时间 SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 月 SKIPIF 1 < 0 日凌晨，瑞典哥德堡田径室内赛展开多个项目角逐，在男子 SKIPIF 1 < 0 米比赛中，“中国飞人”苏炳添以 SKIPIF 1 < 0 秒 SKIPIF 1 < 0 夺冠，取得新赛季开门红．本站赛事是苏炳添的个人新赛季首秀， SKIPIF 1 < 0 岁的他是 SKIPIF 1 < 0 名参赛者中年龄最大的选手，与他同场竞技的还有 SKIPIF 1 < 0 年出生的选手，这极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．甲有一半的时间以速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：米/秒）奔跑；乙全程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑；丙有一半的路程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑，另一半的路程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑．其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则下列结论中一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】对于甲，因为甲有一半的时间以速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：米/秒）奔跑，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．对于乙，全程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对于丙，丙有一半的路程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑，另一半的路程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号全部成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确，B选项错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故C选项正确； SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故D选项错误．故选：AC．
4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，体育馆高 SKIPIF 1 < 0 ，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为 SKIPIF 1 < 0 米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为 SKIPIF 1 < 0 元 SKIPIF 1 < 0 ，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【详解】（1）因为体育馆前墙长为 SKIPIF 1 < 0 米，地面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 ，
设甲工程队报价为 SKIPIF 1 < 0 元，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
课程标准
学习目标
①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。
②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明.