人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时学案设计，共11页。学案主要包含了对基本不等式的理解，利用基本不等式比较大小，利用基本不等式证明不等式等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
知识点 基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2eq \r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
思考1 不等式eq \f(a2＋b2,2)≥ab和eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)中等号成立的条件相同吗？
答案 相同．都是当且仅当a＝b时等号成立．
思考2 “当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
答案 a＝b⇔eq \f(a2＋b2,2)＝ab；a＝b>0⇔eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab).
1．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2eq \r(ab).( √ )
2．若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.( √ )
3．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立．( × )
4．若a≠0，则a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2.( × )
一、对基本不等式的理解
例1 (多选)下面四个推导过程正确的有( )
A．若a，b为正实数，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2
B．若a∈R，a≠0，则eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2
D．若a<0，b<0，则eq \f(a2＋b2,2)≤ab
答案 AC
解析 A中，∵a，b为正实数，∴eq \f(b,a)，eq \f(a,b)为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确．
B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的．
C中，由xy<0，得eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将整体eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(y,x)))提出负号后，－eq \f(x,y)，－eq \f(y,x)均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；
D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即eq \f(a2＋b2,2)≥ab，所以D不正确．
(学生)
反思感悟 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.
跟踪训练1 下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x>1，则x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2；
②若x<0，则x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x)))))
≤－2eq \r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x))))＝－4；
③若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.
答案 ②
解析 ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，
当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立，
因为x>1，所以x＋eq \f(1,x)>2；
③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．
二、利用基本不等式比较大小
例2 (1)如果0A．P>Q>M B．M>P>Q
C．Q>M>P D．M>Q>P
答案 B
解析 ∵a>0，b>0，∴eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，
当且仅当a＝b时，等号成立，
又∵0eq \r(ab)又因为eq \f(a＋b,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(由a＋b>\f(a＋b2,4)也就是\f(a＋b,4)<1可得))，
所以eq \r(a＋b)>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab).故M>P>Q.
(2)设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①eq \f(a2＋b2,2)≥ab；②eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2；③eq \f(a＋b,2)≥eq \f(ab,a＋b)；
④eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2.
其中恒成立的是________．(填序号)
答案 ①②
解析 由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
eq \f(a2＋b2,2)＝eq \f(2a2＋b2,4)＝eq \f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq \f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq \f(a＋b2,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，可知②正确；
当a＝b＝－1时，不等式的左边为eq \f(a＋b,2)＝－1，
右边为eq \f(ab,a＋b)＝－eq \f(1,2)，可知③不正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
(学生)
反思感悟 运用基本不等式比较大小的注意点
(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形．
(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
跟踪训练2 比较大小：eq \f(x2＋2,\r(x2＋1))________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
答案 ≥
解析 由题意，得eq \r(x2＋1)≥1，eq \f(x2＋2,\r(x2＋1))＝eq \f(x2＋1＋1,\r(x2＋1))＝eq \r(x2＋1)＋eq \f(1,\r(x2＋1))≥2，
当且仅当eq \r(x2＋1)＝eq \f(1,\r(x2＋1)) .即x＝0时，等号成立．
三、利用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥8.
证明 因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，
所以eq \f(1,a)－1＝eq \f(1－a,a)＝eq \f(b＋c,a)≥eq \f(2\r(bc),a)，
同理eq \f(1,b)－1≥eq \f(2\r(ac),b)，eq \f(1,c)－1≥eq \f(2\r(ab),c).
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥eq \f(2\r(bc),a)·eq \f(2\r(ac),b)·eq \f(2\r(ab),c)＝8.
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立．
(教师)
延伸探究
例3的条件不变，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥9.
证明 eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立．
反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
跟踪训练3 已知a>0，b>0，且a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，求证：a＋b≥2.
证明 由a>0，b>0，则a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)，
由于a＋b>0，则ab＝1，即a＋b≥2eq \r(ab)＝2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b≥2.
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
答案 B
解析 当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，
即a＝1时，等号成立．
2．已知0A．a2＋b2 B．2eq \r(ab) C．2ab D．a＋b
答案 D
解析 ∵0∴a2＋b22ab(a≠b)，
∴2ab又∵a＋b>2eq \r(ab)(a≠b)，∴a＋b最大．
3．若0A．a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>b B．b>eq \r(ab)>eq \f(a＋b,2)>a
C．b>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>a D．b>a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)
答案 C
解析 ∵0a＋b，∴b>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab).
又∵b>a>0，∴ab>a2，
∴eq \r(ab)>a.故b>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>a.
4．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
答案 A
解析 因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式，得a＋b≥2eq \r(ab)，故ab≤4.又因为cd≤eq \f(c＋d2,4)，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．
5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)；②a－b≥2eq \r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
答案 ③
解析 根据eq \f(a2＋b2,2)≥ab，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．
1．知识清单：
(1)基本不等式．
(2)利用基本不等式比较大小．
(3)利用基本不等式证明不等式．
2．方法归纳：配凑法．
3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．
1．(多选)下列条件可使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的有( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
答案 ACD
解析 根据基本不等式的条件，a，b同号，则eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0.
2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s答案 A
解析 ∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，
∴a＋2b≤a＋b2＋1.∴t≤s.
3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
答案 A
解析 ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
4．下列不等式中正确的是( )
A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)
答案 D
解析 若a<0，则a＋eq \f(4,a)≥4不成立，故A错；
若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；
若a＝4，b＝16，则eq \r(ab)由基本不等式可知D项正确．
5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aC.eq \r(ab)答案 A
解析 设甲、乙两地的距离为s，
则v＝eq \f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)).
由于aa，
又eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>2eq \r(\f(1,ab))，∴v故a6．已知a，b是不相等的正数，x＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq \r(a＋b)，则x，y的大小关系是________．
答案 x解析 x2＝eq \f(a＋b＋2\r(ab),2)，y2＝a＋b＝eq \f(a＋b＋a＋b,2).
∵a＋b>2eq \r(ab)(a≠b)，∴x2∵x，y>0，∴x7．已知a>b>c，则eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是________________．
答案 eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－c,2)
解析 因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以eq \f(a－c,2)＝eq \f(a－b＋b－c,2)≥eq \r(a－bb－c)，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
8．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4；
③(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 由于a2＋1－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，故①恒成立；
由于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＝ab＋eq \f(1,ab)＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(ab·\f(1,ab))＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\f(1,ab)，,\f(b,a)＝\f(a,b)，))
即a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
由于(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(b,a)，即a＝b时等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，①②③正确．
9．已知a>0，b>0，求证：eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)≥a＋b.
证明 ∵a>0，b>0，
∴eq \f(a2,b)＋b≥2eq \r(\f(a2,b)·b)＝2a，eq \f(b2,a)＋a≥2eq \r(\f(b2,a)·a)＝2b，
∴eq \f(a2,b)＋b＋eq \f(b2,a)＋a≥2a＋2b，
∴eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)≥a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立．
10．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明 ∵x，y都是正数，∴x2>0，y2>0，x3>0，y3>0，
∴x＋y≥2eq \r(xy)>0，
x2＋y2≥2eq \r(x2y2)>0，x3＋y3≥2eq \r(x3y3)>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2eq \r(xy)·2eq \r(x2y2)·2eq \r(x3y3)＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
11．若0A.eq \f(1,2) B．a2＋b2
C．2ab D．a
答案 B
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
≥(a＋b)2－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,2).
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵012．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋eq \f(1,x)≥2 B.eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq \r(2)
C.eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq \f(4,x)≥2
答案 B
解析 A项中，当x<0时，x＋eq \f(1,x)<0<2，∴A错误；
B项中，eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)≥eq \r(2)，∴B正确；
C项中，当x＝0时，eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq \f(3,2)<2，∴C错误；
D项中，取x＝1,2－3x－eq \f(4,x)<2，∴D错误．
13．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2) B．(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D.eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab)
答案 D
解析 a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(ab)＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2)，
当且仅当a＝b＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立，A成立；
(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥2eq \r(ab)·2eq \r(\f(1,ab))＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，∴eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab)，
当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2eq \r(ab)，a>0，b>0，
∴eq \f(2\r(ab),a＋b)≤1，eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)，
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
14．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)；③a2＋b2≥2；④eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 因为ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以①正确；
因为(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝2＋2eq \r(ab)≤2＋a＋b＝4，故②不正确；
所以eq \r(a)＋eq \r(b)≤2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
a2＋b2≥eq \f(a＋b2,2)＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以③正确；
eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(2,ab)≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以④正确．
15．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是____________________________．
答案 a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac
解析 ∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
16．已知a，b都是正数，求证：eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2)).
证明 ∵eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))，
∴eq \f(1,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \f(1,2\r(\f(1,ab)))，即eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab).
又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(a2＋2ab＋b2,4)
≤eq \f(a2＋a2＋b2＋b2,4)＝eq \f(a2＋b2,2)，
∴eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)).
又由基本不等式得eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，
故eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(当且仅当a＝b时，等号成立)．