高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第一课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第一课时导学案及答案，共8页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，例2-1，例2-2，参考答案，自我检测1，自我检测2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．


（预习教材P44~ P46，回答下列问题）


思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？


1、正方形ABCD的


面积S=＿＿＿＿＿


2、四个直角三角形的


面积和S’ =＿ ＿


3、S与S’有什么样的不等关系？





【知识点一】重要不等式


对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．


自我检测1：你能给出不等式a2＋b2≥2ab的证明吗？

















【知识点二】基本不等式


对于任意实数，都有eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．


其中eq \f(a＋b,2)和eq \r(ab)分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．


自我检测2：你能给出不等式（）的证明吗？

















【知识点三】利用基本不等式求最值问题


已知x>0，y>0，则


如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________


(简记：积定和最小)．


如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________


(简记：和定积最大)．


自我检测3：利用基本不等式求最值时应注意什么呢？











题型一 对基本不等式的理解


【例1】正确辨别不等式的使用条件


(1)下列不等式中，不正确的是( )


A．a2＋b2≥2|a||b| B．eq \f(a2,b)≥2a－b(b≠0)


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2≥eq \f(2a,b)－1(b≠0) D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2





(2)给出下列命题：


①若x∈R，则x＋eq \f(1,x)≥2；


②若a<0，b<0，则ab＋eq \f(1,ab)≥2；


③不等式eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2成立的条件是x>0且y>0．其中正确命题的序号是________．








题型二 利用基本不等式求最值


【例2-1】已知，求的最小值和此时x的取值．（或）














【例2-2】求下列代数式的最值


（1）已知，求的最小值；


（2）若 ，求的最大值；


（3）已知，且满足，求的最小值；


（4）求的最小值；


（5）若且，求的最小值；


（6）若且，求的最小值．





















































题型三 恒成立问题与存在问题


【例3】若对任意，恒成立，则a的取值范围为________________．











1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )


A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq \r(ab)


C．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab)) D．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2


2．若a>1，则a＋eq \f(1,a－1)的最小值是( )


A．2 B．a


C．eq \f(2\r(a),a－1) D．3


3．下列不等式中，正确的是( )


A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab


C．eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)


4．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )


A．eq \f(24,5) B．eq \f(28,5)


C．5 D．6


5．已知x，y都是正数．


(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．


(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．















































【参考答案】


学后反思 巩固提高





思考：1、；2、；3、


【自我检测1】证明：


当时，；


当时，．


分析法


自我检测2：你能给出不等式（）的证明吗？





【自我检测2】证明：要证


只需证


只需证


（）


只需证


显然成立．当且仅当时，上式“”成立．











【自我检测3】











【例1】【解析】（1）B；（2）正确命题的序号是②．








【例2-1】【解析】当时，（当且仅当时，“”成立）；


当时，“一正”不满足，所以不能求该函数的最小值；


当时，“三相等”不满足，所以不能求该函数的最小值．


【例2-2】求下列代数式的最值


（1）【解析】因为，则，


所以，


当且仅当时，即时取等号，


所以的最小值为5．


（2）【解析】因为，，


所以，


当且仅当时，即时取等号，


所以的最大值为．


（3）【解析】因为x＞0，y＞0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，


所以x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝3))时，等号成立，


所以当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18．


（4）【解析】因为，


所以，


当且仅当时，即时取等号，


所以的最小值为．


（5）【解析】因为（）


所以，


当且仅当时，即时取等号，





所以的最小值为．


（6）【解析】因为，


所以令（），即或（舍），


当且仅当时，“”成立，


所以的最小值为．


【例3】【解析】因为，，当且仅当时，“”成立．


所以只需即可．



































1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )


A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq \r(ab)


C．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab)) D．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2


解析：D


2．若a>1，则a＋eq \f(1,a－1)的最小值是( )


A．2 B．a


C．eq \f(2\r(a),a－1) D．3


解析：D


3．下列不等式中，正确的是( )


A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab


C．eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)


解析：D


4．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )


A．eq \f(24,5) B．eq \f(28,5)


C．5 D．6


解析：C


5．已知x，y都是正数．


(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．


(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．


解析：(1)x＋y≥2eq \r(xy)＝2eq \r(15)，即x＋y的最小值是2eq \r(15)；当且仅当x＝y＝eq \r(15)时取最小值．


(2)xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)))2＝eq \f(225,4)，


即xy的最大值是eq \f(225,4).


当且仅当x＝y＝eq \f(15,2)时xy取最大值．