高中数学人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式综合训练题

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考点一 直接型
【例1-1】已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0B．有最小值为0
C．有最大值为－4D．有最小值为－4
【答案】B
【解析】由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0故选：B
【例1-2】已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：D
【一隅三反】
1．已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C
2．（2022·江苏连云港·高一期末）函数的最大值是（ ）
A．7B．C．9D．
【答案】B
【解析】由题意可得函数的定义域为，则，所以，
当且仅当，即时，取等号，所以函数的最大值是，故选：B
3．当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B
考点二 常数代换型
【例2-1】已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题，，当且仅当，即，即时取等号故选：C
【例2-2】若，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】因为，所以，
∴，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.
【例2-3】若，，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由得，则有，有，同理可得，
由两边除以xy得：，于是得：
，当且仅当时取“=”，
由解得：，所以当时，取得最小值.
故答案为：
【一隅三反】
1．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
【答案】A
【解析】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A
2．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．8B．12C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，均为正数，，故，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：B.
3．设，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.
4．（多选）已知，且，则的取值可以是（ ）
A．8B．9C．11D．12
【答案】CD
【解析】因为，所以，则.因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立），则.因为，所以，即.故选：CD
考点三 配凑型
【例3-1】已知，则的最小值是( )
A．5B．4C．8D．6
【答案】A
【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是5．故选：A．
【例3-2】函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【解析】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D
【例3-3】已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
【答案】A
【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A
【例3-4】设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，即，
∴，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.
【一隅三反】
1．已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7B．y有最小值7C．y有最小值4D．y有最大值4
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；故选：B
2．若，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C．
3．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以
，
当且仅当时，取等号，的最小值是.故选：D
考点四 消元型
【例4】若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】因为正实数x，y满足，所以.
所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是，故选：C．
【一隅三反】
1．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据题意可得，由，所以，由，可得，即，，当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B.
2．（多选）若，，，则的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】原式（当且仅当，时取等号）.故选：CD.
3．若，且，则的最小值为_________．
【答案】3
【解析】因为，所以，，当且仅当时，等号成立．故答案为：3．
考点五 求参数
【例5】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，不等式恒成立，对均成立．
由于，当且仅当时取等号，故的最小值等于3，，则实数a的取值范围是．故选：D．
【一隅三反】
1．已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（-∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）
【答案】A
【解析】因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，因为有解，所以，即，解得或，故选：A
2．已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，，的取值范围是．故选：B．
3．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】D
【解析】因为，所以，所以恒成立，只需
因为，所以，当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D
考点六 综合运用
【例6-1】（多选）已知是正实数，若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】AB
【解析】正实数，满足，由基本不等式得，，
当且仅当且，即，时取等号，解得，，正确；
，当且仅当时取等号此时取得最小值2，正确；
∵，∴，当时，的最小值为，错误；
当且仅当时取等号，此时，不符合题意，故等号取不到，即的最小值大于，故D错误.故选：AB
【例6-2】如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
【答案】16
【解析】如图所示，连接OC，设OB＝x(0