人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式导学案及答案

2.2：基本不等式

课标解读：

1.   基本不等式.（理解）
2.   利用基本不等式求最值.（理解）
3.   基本不等式的应用.（理解）

知识点1：基本不等式（重点）

1.重要不等式

，有，当且仅当时，等号成立.

证明：，当且仅当时，等号成立.

2.基本不等式

（1）如果，那么，当且仅当时，等号成立.

其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.

因此基本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（2）变形公式：    

（3）用基本不等式求最值时，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”

例1：设，则下列不等式中正确的是（    ）.

A.             B.

C.             D.

答案：B

例2：判断下列两个推导过程是否正确：

（1）；

（2）

答案：（1）推导错误，不符合基本不等式的条件；（2）推导正确.

例3.（多选题）下列不等式一定成立的是（)

变式训练：

1.设则下列不等式中不成立的是（ ）

A．          B

C               D

2.已知的关系式

知识点2：最值定理（重点）

已知都是正数，

（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值

（2）如果和等于定值，那么当时，积最大值

最值定理简记为：和定积最大，积定和最小.

题型一：最值定理简单应用：

例1：若，则函数（    ）.

A.有最大值-4         B.有最小值4        C.有最大值-2         D.有最小值2

答案：B

例2：已知，且，则的最大值为（   ）.

1. 80              B. 77             C. 81             D. 82         

答案：C

例3.求下列函数的最值

（1）已知的最大值

（2）已知的最小值

（3）已知的最大值

解析：（1），当且仅当时，等号成立，所以；（2）当且仅当时，等号成立，所以；（3）=

当且仅当时，等号成立，所以。

变式训练：

1. 设的最大值为   

2.（多选）下列表达式最小值为2的有（  ）

题型二.利用基本不等式求最值

例1.已知的最小值

解析:（配方法）

当且仅当时，等号成立。所以当

 （换元法）令

当且仅当时，等号成立。所以当

例2.（1）若正实数                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

     （2）若实数的最大值       

解析： （1）设，即

当且仅当时，等号成立。

      （2）由，即

当且仅当时，等号成立。

变式训练：

1.   已知的最小值为

2.求函数的取值范围

注意：形如的最值求解都转化为。

题型三.常数代换法求最值

例6.已知的最小值

解析：（“1”的代换）

当且仅当时，等号成立。

     （消元法）

当且仅当时，等号成立。此时。

变式训练：

1.已知正数满足的最小值是      

2.若的最小值是     

题型四：万能值法

步骤：（1）问谁设谁：求谁，谁就是

（2）代入整理：整理成某个变量的一元二次方程

（3）确认最值：方程有解，

例1.（1）若实数的最大值是         

     （2）已知实数    

解析：（1）设，整理可得，

，所以

      （2）设，整理可得，

，所以

变式训练：

1.设正数且满足的最小值是   5 

2.设正数且满足，设     

题型四.权方和不等式

权方和不等式：若为实数，且,则,当且仅当时，等号成立。（用二维的柯西不等式证明，略）

例1.（1）已知的最小值是       

（2）设正数的最小值是        

解析：（1）由权方和不等式得，，整理可得

，当且仅当时，等号成立。所以

（2）由权方和不等式得：，当且仅当时，等号成立。所以

变式训练：

1.已知的最小值为       

2.已知，求得最小值为     

3.已知实数的最小值为    

基础巩固：

1.已知的最小值为（    ）.

A. 2              B. 3               C. 4              D. 5

2.已知若恒成立，则实数t的取值范围是（    ）

A.         B.          C.          D.

3.高三学生在新学期里，刚刚搬入新教学楼，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第层楼时，上、下楼造成的不满意度为，但高处的空气清新，嘈杂声较小，环境较好，设教室在第层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最合适的教室所在楼层应为（    ）

A. 2             B. 3             C. 4                 D. 8

4.已知，则的最小值为          .

5.已知，则的最小值为         .

6.已知，则的最小值为         .

7.桑基鱼塘是长三角和珠三角的一种独具特色的农业生产形式.某公司打算开发一个桑基鱼塘项目，该公司准备购置一块1800平方米的矩形土地，如图所示，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示），用来种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S平方米，其中

（1）试用表示S；

（2）若要使S最大，则的值各是多少？

综合提升：

8.已知正实数满足，则的最小值为（    ）.

A. 1               B.              C. 2              D. 4

9.若则的最大值为（    ）.

A. 25              B.              C.             D.

10.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ）.

A. 0             B.               C. 2              D.

11.若正数满足，则的最小值是（    ）

A.           B.               C. 5              D.6

12.设恒成立，则的取值范围为         .

13.已知实数满足则的最大值为         .

14.设的最大值为        .

15.某工厂每年需要某种材料3000件，设该厂对该种材料的消耗是均匀的，该厂准备分若干次等量进货，每进一次货需运费30元，且在用完时能立即进货，已知储存在仓库中每件每年存储费为2元.而平均存储的材料量为每次进货量的一半，欲使一年的总运费和存储材料所用的费用之和最少，则每次进货量应为多少？

16.已知都为正数且不全相等.求证：.

17.已知都为正数且不全相等.若，证明：

18.某工厂生产某种产品共件，分若干批生产，每生产一批产品需要用原料费15000万元，每批生产需直接消耗的管理费与生产产品的件数的立方成正比.当生产的一批产品为5件时，需消耗的管理费为1000元.

（1）求每批生产需要直接消耗的管理费与该批产品的件数的函数解析式；

（2）每批生产多少件时，一年生产该产品所需要的总费用最低.

参考答案

1.   B
2.   A
3.   B
4.   8
5.   2
6.   18
7.   （1）.（2）时，S取最大值为1352.
8.   D
9.   D
10. C
11. C
15. ，当时总费用最少为600元.

又不全相等，∴上述不等式中至少有一个等号不成立.

∴

17.∵都为正数且不全相等，且

∴

∵

∴

 同理

将上面三个不等式叠加并整理得：

18.（1）；（2）当时总费用最低.