数学必修 第一册2.2 基本不等式公开课教案

2.2 基本不等式

第1课时 基本不等式的解释和证明

（一）教学内容

基本不等式的含义和证明。

（二）教学目标

1. 经历基本不等式的发现归纳过程，能从具体中抽象出基本不等式，体会数学的一般性，发展学生数学抽象素养。

2. 经历基本不等式的证明过程，能用分析法证明不等式，体会数学的严谨性，发展学生逻辑推理、数学运算素养。

3.  通过寻找基本不等式的几何解释，能理解基本不等式的几何直观，体会数形结合思想，发展直观想象的素养；

4. 利用基本不等式求简单的最值问题，能把握基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，体会数学的灵活性，发展数学运算素养。

（三）教学重点及难点

1. 重点：基本不等式的定义，证明和几何解释。

2.难点:基本不等式的证明。

（四）教学过程设计

1.情境引入，提出问题

（1）欧拉与羊圈的故事：

小欧拉曾经因为星星的事情被教会学校开除，回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。

爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米(15+15+40+40=110)父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料;要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。

小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。

父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情?”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。

小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢?那怎么成呢?这个羊圈太小了，太小了。"小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说："现在，篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。

【设计意图】讲数学家故事，渗透德育文化，激发学生数学学习兴趣和积极性。

（2）回顾上一节课的内容——“重要不等式”：

多媒体展示第24届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图历史渊源。

师生活动：我们把会标抽象成在正方形中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长为，那么正方形的边长为。这样4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就等到一个不等式

追问1：如果用代替，用代替，得到，即   ①，当且仅当时，等号成立。我们称不等式①为基本不等式。

（3）具体演算，总结规律

当分别取下列值时，基本不等式成立吗？

（1）当，（2）当，（3）当。

     师生活动：学生亲自运算检验，体会不等式的成立。

【设计意图】利用实际问题抽象出不等式模型，在通过字母代换等到基本不等式模式，最后用具体数值验证，加深对基本不等式的认识。

教师总结：其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

【设计意图】通过分析基本不等式的结构特征得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识，多种方法下，培养学生的发散思维。

2.   公式证明，形成概念

问题2.我们通过考察的特殊情形获得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？

师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式。教师在肯定学生的做法之后，给学生简单介绍分析法并且引导学生用分析法写出证明过程。

教师:分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止。

分析法解题过程如下:

要证                                 ①

只要证                    

要证，只要证             .   ③

要证③，只要证             0    ④

要证④，只要证              0     ⑤

显然，⑤成立，中的等号成立。

我们可以看到，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了。

追问（1）：请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么？

教师引导由②①，由③ 由④，由⑤④的依据。

教师总结：②①（根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向）

③（根据不等式性质，两边同时加上正数（），所得不等式与原不等式同向）

④（运用完全平方差公式打开计算）

⑤④（根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向）

显然，⑤成立，中的等号成立。

追问（2）：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？

师生活动：学生讨论后回答。

教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止。

追问（3）:根据我们的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？

师生活动：学生思考后回答。

教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……”“只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然……成立。

【设计意图】作差比较是学生最有可能想到的方法，但教师还是需要介绍“执果索因”的“分析法”。它从求证的不等式出发，逆向逐步探寻这个不等式成立需要具备的充分条件，其基本思想是: 由未知探索需知，逐步推向已知。在数学中，条件探究题一般用分析法进行逆推来获得正确答案，是思考问题的一般性方法。

3.   几何解释，加深理解

问题3.如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形得到基本不等式的几何解释吗？

师：前后4人小组，4分钟时间讨论交流。

生：小组讨论，选派小组代表上台为同学展示交流成果，其他同学做补充。

师：肯定小组交流成果。

师：几何画板动态演示，使学生直观感受变与不变.师：引导学生总结，半径即为，，圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，二者相等。

【设计意图】学生自己发现基本不等式的几何解释相对较困难，给出几何图形后，引导学生将和与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现得大小关系，从而得到基本不等式的几何解释，几何画板演示增强视觉直观，数形结合。

4. 例题讲解，示范巩固

前面我们知道了基本不等式的内容、证明方法和几何解释，下面我们利用基本不等式来解决一些简单的最值问题.请看下面的例题。

例1 已知的最小值。

追问1：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求的最小值？

师生活动：学生思考后回答。

教师总结：本题中要求的代数式是与和的形式，而且，由于是与的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数是一个定值，所以可以利用基本不等式求解。 下面是解答过程。

解：因为，所以，当且仅当，即

因此所求的最小值是2。

追问2：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即”？

师生活动：学生讨论后回答。

教师总结：这是为了说明“2”是的一个取值。那么请同学们再想一想，当这时能说是的最小值吗？

师生活动：学生思考后回答。

教师总结：当然是不能，因为的最小值，就是要求出一个如果。

追问3：通过本例的解答，你能说说满足什么条件能够利用基本不等式求最小值呢？

师生活动：学生讨论后回答。

教师总结：如果两个正数的积为定值，当这两个数相等时，可以求得它们的和的最小值。

【设计意图】引导学生根据所求代数式的形式，判断是否利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范（模型）。

5.基础训练，检测评价

练习1.已知，则的最小值为（  ）

A.1         B.2          C.4         D.8

练习2.已知且，则的最大值为（  ）

1.              B.1           C.2         D.4

练习3.已知，求的最大值？

师：最小值的含义是什么？

学生思考后回答，教师总结，即求一个实数M，使所有值都大于等于M，并且能取到M。

生：第一题可以利用基本不等式求得，首先满足应用条件代入公式，求得，当且仅当=1时等号成立。

师：引导学生在该题的基础之上，对基本不等式进行变形，得到，总结得到“两个正数积定和最小”。

生：第二题符合基本不等式应用条件，代入公式求得，当且仅当=1时等号成立。

师：引导学生对基本不等式进行变形得，总结得到“两个正数和定积最大”。

生：分析基本不等式的应用前提，即两个正数，将，看作两个整体，要求a,b同号。

师：第三题是第二题的延伸拓展，能否用第二题的思路解决？

【设计意图】通过本例的教学，可以帮助学生理解如何直接应用基本不等式解决问题，设置三个题目，逐渐强化基本不等式的应用条件，并由学生亲自发现和总结公式变形，形成求解最值问题的数学模型，进一步发展模型思想，整体思想.由题目出发，总结易错和注意事项,加深学生对于基本不等式理解，增加学生获得感，满足感。

5.   凝炼模型，总结升华

例2已知都是正数，求证：

（1）如果积等于定值,那么当时，和;

（2）如果和等于定值, 那么当时，积.

师生活动：师生一起分析后，鼓励学生用自然语言把两个问题连在一起说，能用自己的话表达也是对结论的进一步理解。并书写证明过程后展示，师生共同补充完善。

证明：（1）因为都是正数，所以, 当积等于定值时，,所以，当且仅当和;

（2）当和等于定值时，=,所以，当且仅当，

追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？

师生活动：学生思考后回答。

教师总结：满足两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值，或者两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值的问题，能够用基本不等式解决。

【设计意图】通过问题链的解决，引导学生认识基本不等式“和式”与“积式”的转化功能，归纳和提炼出最值定理．“模式识别”能起到定向训练的作用，即训练学生在遇到新问题时，善于识别问题的特征，准确地将其归结为某种数学模型，尽快地明确解题思路，选择解题方法。

6.   归纳小结

（1）什么是基本不等式？如何推导得到基本不等式？

（2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上解释？

（3）基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解决最值问题？需要注意什么？

（4）本节课有哪些数学思想方法？

师：引导同学们相互总结本节课的收获和注意事项。

生：踊跃发言，从知识层面和思想方法两个角度总结本节课内容。

【设计意图】引导学生回顾总结学习内容和方法，梳理课堂内容，形成知识框架和思想方法体系。特別要注意引导学生会研究一个特殊代数对象的一般过程。

7.   作业布置：课本习题2.2  第1题，第2题

【设计意图】巩固新知，强化基础，选择性内容满足不同学生发展需求，限时完成强化学习效率。

（五）目标检测设计

1.已知，求的最小值及相应的值。

2.已知，求的最大值及相应的值。

【设计意图】考查学生利用基本不等式解决简单的最值问题的能力。

（六）教学反思

由国际数学家大会的会标引出，让学生具体数值演算验证，有助于增强学生学习信心；讲好基本不等式的几何解释，有助于培养学生的直观想象和感受数学魅力；作为基本不等式的第一课时，不能急于求成，本节课重在理解好基本不等式的含义，做好扎实证明，例题也只讲最基本的，对于使用条件，不要强塞硬给，让学生在后续学习中，慢慢体会和掌握。