高中数学人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式第1课时同步达标检测题

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【夯实基础】
一、单选题
1．函数的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号；
故选：D
2．已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，
故选：B
3．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质及基本不等式比较.
【详解】因为，则，
又，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的运用．属于简单题．
4．若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式的性质比较大小即可.
【详解】由题知：，且，所以，，故排除D.
因为，故排除A.因为，故排除C.故选：B
5．若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】由已知结合不等式的性质可以推理得到（1）不正确，（4）不正确，（3）正确；由基本不等式可判断（2）正确．
【详解】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；
因为，所以（3）正确；
都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．
故选：C
6．若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C
7．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以．因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．
二、多选题
8．已知，且.则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】当时，，所以BD选项错误.
A，，当且仅当时，等号成立，A正确.
C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.
故选：AC
9．已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据比较法判断C，根据基本不等式判断D.
【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确；
对于B，由，当时，，所以B不正确；
对于C，因为，，所以，故，所以C正确；
对于D，因为，所以均值不等式得，所以D正确；
故选：ACD.
10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，若，，则，即，故C正确；
对于D，当，时，满足，但，故D不正确．
故选：ABC．
三、填空题
11．若，则的最小值为___________.
【答案】0
【分析】构造，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：0
12．已知点在直线上，当时，的最小值为______．
【答案】
【分析】利用均值不等式求解即可.
【详解】因为点在上，所以.
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
13．若函数在区间上的最小值为3，则的最大值为________．
【答案】
【分析】先根据一次函数单调性及最小值求出，再利用基本不等式“和定积最大”，求解最大值.
【详解】单调递增，所以在区间[1，2]上，所以，因为，所以当且仅当时，等号成立.故答案为：
14．已知，，且满足，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】根据基本不等式求解即可
【详解】因为，，且满足，则当且仅当时取等号，
所以的最大值为3.
故答案为：
15．已知，，，则在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【分析】对①，可以利于基本不等式证明；对于②③④⑤可以分析判断得解.
【详解】①，（当且仅当时等号成立），所以正确；
②，要证，只需证只需证，显然成立，所以正确；
③，只需证只需证只需证，与已知不符，所以错误；
④，要证，只需证只需证，显然成立，所以正确；
⑤，要证，只需证只需证只需证只需证，与①不符，所以错误.
故答案为：①②④
16．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
【答案】④
【分析】结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.
【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），即≤2，ab≤4，，故①③不成立；
，故②不成立；故④成立.
故答案为：④.
四、解答题
17．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
【分析】对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论.
【详解】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号），
即.
18．已知，求证.
【分析】直接写出三个重要不等式相加即得证.
【详解】∵，①
，②
，③
①+②+③得；.
∴(当且仅当等号成立).
19．证明：
（1）；（2）.
【分析】（1），利用基本不等式即可证明.
（2），利用基本不等式即可证明.
【详解】（1），
当且仅当时，即时，等号成立.
（2），
当且仅当时取等号，此时，显然的值不存在，所以等号不成立，
所以.
20．请解决下列两个问题：
(1)求函数的最小值；
(2)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式0的解集.
【答案】(1)8；
(2)
【分析】利用基本不等式求函数的最小值
易知，是方程的解，求出就可求出下一个不等式的解.
（1），当且仅当时，等号成立.故的最小值为8.
（2）因为关于的不等式的解集为，所以方程的实数根为和3，所以，代入不等式，得，解得.故不等式的解集为.
21．已知集合．
(1)设，求的取值范围；
(2)对任意，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得，，再根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意，再结合（1）即可证明.
（1）解：若，又，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值， 故的取值范围为．
（2）证明：，当且仅当时取等号．
22．（1）设，求的最大值；
（2）已知，，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；
（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为；
（2）因为，，所以，．又，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
23．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
【答案】（1）9；（2）．
【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，
（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9．
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，故的最大值为．
24．若，，求证：．
【分析】连续使用两次基本不等式即可求证
【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立．
又，当且仅当时等号成立，所以，
当且仅当，即时取等号．
25．（1）证明：若，，则．
（2）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可，
（2）根据题意利用基本不等式可得，，，再利用不等式的性质可证得结论
【详解】（1）证明：因为，，所以，，
所以，即，所以，得证；
（2）因为都是正数，
所以（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
所以（当且仅当时取等号），
即．
【能力提升】
一、单选题
1．若，则有（ ）
A．最小值B．最小值C．最大值D．最大值
【答案】D
【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．故选：D.
2．在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，，设物体的真实质量为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用杠杆原理和基本不等式即可求解.
【详解】设天平的左、右臂长分别为，，物体放在左、右托盘称得的质量分别为，，真实质量为，
由杠杆平衡原理知：，，由上式得，即，
由于，故，由基本不等式，得.故选：C.
3．若a，b，c均为正实数，则三个数，，（ ）
A．都不大于2B．都不小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
【答案】D
【分析】对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D, 可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定，，至少有一个不小于2，从而可以得结论．
【详解】解：A. 都不大于2，结论不一定成立，如时，三个数，，都大于2，所以选项A错误；
B. 都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误；
C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，，都大于2，所以选项C错误.
由题意，∵a，b，c均为正实数，∴．
当且仅当时，取“=”号，若，，，则结论不成立，
∴，，至少有一个不小于2，所以选项D正确；故选：D．
4．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值B．有最大值4
C．有最小值D．有最小值2
【答案】A
【分析】结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.
【详解】因为正实数满足所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．故选：A
5．若，，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】C
【分析】化简，再根据基本不等式求最小值即可
【详解】因为，，所以
(当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20.故选：C
二、多选题
6．2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，，．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.
【详解】由题意，所以，，，
根据基本不等式可知，故，当且仅当时等号全部成立，故A选项正确，B选项错误；
，故C选项正确；，故D选项错误．
故选：AC．
7．设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用作差法判断；C.利用基本不等式判断；D.利用作差法判断.
【详解】A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；
B. 因为，正负不定，故错误；
C. ，当且仅当，时，等号成立，故正确；
D. ，故正确；
故选：ACD
8．下列说法中，正确的有（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是2
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】CD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.
【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，，当且仅当，即时取等号，显然不可能，故B错误；对于C，由，可得，即，故C正确；
对于D，由，，，可知，所以，故D正确.故选：CD.
9．下列命题正确的是（ ）
A．，
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最小值为3
D．若，则的最大值为2
【答案】AD
【分析】由配方法和基本不等式依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，若，则，当且仅当即时取等，B错误；
对于C，，当且仅当时取等，
由于无解，则的最小值取不到3，C错误；
对于D，，整理得，当且仅当即时取等，D正确.
故选：AD.
三、填空题
10．当时，求函数的值域为________．
【答案】
【分析】首先根据判断的正负，再将函数式转化为，根据均值不等式求解.
【详解】因为，所以，即，所以，
又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，则函数的值域为.故答案为：.
11．若，，，则当______时，取得最小值．
【答案】
【分析】由题知，进而分和两种情况，结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，，所以，即．
当时，，
当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；
当时，，
当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．
综上所述，当时，取得最小值．故答案为：
12．已知，，且，则的最小值为________.
【答案】12
【分析】，展开后利用基本不等式可求．
【详解】∵，，且，
∴，
当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12．
故答案为：12．
13．在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______
【答案】
【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.
【详解】 （当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，
故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得， 又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.
四、解答题
14．已知均为正实数．
(1)求证：．
(2)若，证明：．
【分析】（1）将、、三式相加可证明；
（2）由条件可得，然后可证明.
（1）因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），
以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），
所以（当且仅当时等号成立），
即（当且仅当时等号成立）．
（2）由题可得，
则左边
，
当且仅当，，，，即时取“＝”．
故成立．
15．已知a，b，c均为正实数，求证：
(1)；
(2)．
【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，
（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论.
（1）证明：左边，
当且仅当时取“＝”．故．
（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取取“＝”，②
，当且仅当时取“＝”．③
①+②+③，得，当且仅当时等号成立．
16．已知、、都是正数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将所证不等式等价转化为证明，利用基本不等式结合不等式的基本性质可证得结论成立；
（2）化简得出，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解之即可.
(1)证明：要证，
左右两边同乘以可知即证，即证．
因为、、都是正数，由基本不等式可知，，，
当且仅当时，以上三式等号成立，
将上述三个不等式两边分别相加并除以，得．
所以，原不等式得证．
(2)解：，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，即，解得，
故实数的取值范围为．
17．（1），比较与的大小；
（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.
【答案】（1）；（2）的最小值20，
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
（2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1），，
，当且仅当，即时，等号成立.所以.
（2）由（1）知，
，当且仅当时取等号，
显然要使成立，需满足，解得
综上可知，当，代数式取得最小值20.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．已知,且.证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据均值不等式可以证明；
（Ⅱ）根据均值不等式和已知条件的灵活应用可以证明.
【详解】证明Ⅰ，b，，且，
，
，当且仅当时，等号成立
Ⅱ，，，
，
，
【点睛】本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.