河北省2025秋九年级数学上册第24章一元二次方程学情评估试卷（含解析冀教版）

这是一份河北省2025秋九年级数学上册第24章一元二次方程学情评估试卷（含解析冀教版），共8页。
第二十四章　学情评估卷 一、 选择题 (本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为(　　) A．2x＋1＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2－1＝0 D．x＋y＝2 2．方程2x2＝3x的解为(　　) A．x＝0 B．x＝eq \f(3,2) C．x＝－eq \f(3,2) D．x1＝0，x2＝eq \f(3,2) 3．已知x＝1是一元二次方程x2＋mx－2 024＝0的一个解，则m的值为(　　) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 4．用配方法解方程x2－4x－3＝0，配方后的方程是(　　) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝7 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝1 5．一元二次方程x2＋5＝4x的根的情况为(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 6．利用公式法解一元二次方程2x2－9x＋8＝0，得方程的两根为a，b，且a＞b，则a的值为(　　) A.eq \f(9＋\r(17),4) B.eq \f(9－\r(17),4) C.eq \f(－9＋\r(17),4) D.eq \f(－9－\r(17),4) 7．在解一道一元二次方程时，因印刷不清楚，小影在解题过程中仅看错了常数项，解得方程的两个根是6和1；小冬仅看错了一次项系数，解得方程的两个根是－2和－5.则原来的方程可以是(　　) A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－6x－10＝0 C．x2－5x＋2＝0 D．x2－7x＋10＝0 8．在“双减政策”的推动下，某中学学生完成课后作业的平均时长明显减少．经过两个学期的两次调整，由原来每天完成作业的平均时长为90分钟，调整为60分钟．设这两次该校学生每天完成作业的平均时长的下降率均为x，则可列方程为(　　) A．60(1＋x)2＝90 B．60(1＋x2)＝90 C．90(1－x)2＝60 D．90(1－x2)＝60 9．如图，E为矩形ABCD对角线AC上一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程 x2＋6x－16＝0的正数解是(　　) A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 10．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了构造由四个全等的矩形和中间的一个小正方形组成的大正方形，来解一元二次方程的方法．以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例说明：构造如图所示的大正方形，它的面积是(x＋x＋5)2，同时又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，解得正数解为x＝2.小明用此方法解关于x的方程x2＋6x－n＝0时，构造出类似的图形，已知矩形的面积为16，则大正方形的面积S和n的值分别为(　　) A．S＝81，n＝36 B．S＝64，n＝16 C．S＝64，n＝36 D．S＝100，n＝16 二、 填空题 (本大题共3小题，每小题4分，共12分) 11.若方程2x2＝9x＋8化为一般形式后的二次项为2x2，则一次项的系数为________． 12．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为3和－2，则b＋c＝________． 13．如图，小程爸爸用一段12 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长6 m)的矩形鸭舍，其面积为20 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为________． 三、 解答题 (本大题共4小题，共48分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(15分)解方程： (1)(x－1)2＝9(直接开平方法); (2)2x2＋3x－1＝0(公式法)； (3)x2－2x－2 025＝0(配方法); (4)(2x＋3)2＝(3x＋2)2(因式分解法)． 15.(8分)已知关于x的一元二次方程x2＋(2－m)x＋1－m＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值． 16．(12分)某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(x＞20)之间存在一次函数关系，对应数值如表所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元； (3)售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 17．(13分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度匀速移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度匀速移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． (1)经过多长时间，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)△PBQ的面积会等于△ABC的面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．  答案 1．C　2.D　3.B　4.A　5.C　6.A 7．D　8.C　9.C　10.D 11．－9　12.－7　13.5 m 14．解：(1)(x－1)2＝9， 两边开平方，得x－1＝±3， ∴x1＝4，x2＝－2. (2)∵a＝2，b＝3，c＝－1，∴b2－4ac＝32－4×2×(－1)＝17＞0， ∴x＝eq \f(－3±\r(17),2×2)，∴x1＝eq \f(－3＋\r(17),4)，x2＝eq \f(－3－\r(17),4). (3)x2－2x－2 025＝0， 移项，得x2－2x＝2 025， 配方，得x2－2x＋1＝2 026， 即(x－1)2＝2 026， ∴x－1＝±eq \r(2 026)， ∴x1＝1＋eq \r(2 026)，x2＝1－eq \r(2 026). (4)∵(2x＋3)2＝(3x＋2)2， ∴(2x＋3)2－(3x＋2)2＝0， 即(2x＋3＋3x＋2)(2x＋3－3x－2)＝0， ∴2x＋3＋3x＋2＝0或2x＋3－3x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝1. 15．(1)证明：∵一元二次方程x2＋(2－m)x＋1－m＝0， ∴b2－4ac＝(2－m)2－4(1－m)＝m2－4m＋4－4＋4m＝m2. ∵m2≥0，∴b2－4ac≥0.∴该方程总有两个实数根． (2)解：解一元二次方程x2＋(2－m)x＋1－m＝0， 得x1＝－1，x2＝m－1. ∵m＜0，∴m－1＜－1. ∵该方程的两个实数根的差为3， ∴－1－(m－1)＝3.解得m＝－3. 16．解：(1)设y＝kx＋t(x＞20)， 把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝25，,y＝50，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝35，,y＝30))代入， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25k＋t＝50，,35k＋t＝30，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,t＝100，))∴y＝－2x＋100(x＞20)． (2)根据题意，得(x－20)(－2x＋100)＝400， 整理，得x2－70x＋1 200＝0， 解得x1＝30，x2＝40， ∵要尽快售完，∴销售单价应定为每千克30元． (3)不能．理由如下： 根据题意，得(x－20)(－2x＋100)＝500， 整理，得x2－70x＋1 250＝0， ∵b2－4ac＝4 900－4×1 250＝－100＜0， ∴此方程无解，∴销售利润不能达到500元． 17．解：(1)点P从点A到点B的时间为6÷1＝6(s)，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4(s)．设经过t s，△PBQ的面积等于8 cm2， 则eq \f(1,2)(6－t)·2t＝8， ∴t2－6t＋8＝0， 解方程，得t1＝2，t2＝4，∴经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2. (2)不会．理由：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)×6×8＝24(cm2)． 设经过m s，△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半，根据题意，得eq \f(1,2)(6－m)·2m＝eq \f(1,2)×24， ∴m2－6m＋12＝0. ∵b2－4ac＝(－6)2－4×12＝36－48＝－12＜0， ∴关于m的一元二次方程无实数解， ∴△PBQ的面积不会等于△ABC的面积的一半． 销售单价x/(元/千克)2535销售量y/千克5030