九年级上册25.7 相似多边形和图形的位似导学案

这是一份九年级上册25.7 相似多边形和图形的位似导学案，共9页。

25.7 相似多边形和图形的位似





知识要点分类练 夯实基础





知识点 一：相似多边形


相似图形


形状相同的图形称为相似图形


相似多边形


一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做他们的相似比.


例如：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB与A′B′是对应边，若，则说四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1；反之，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为1∶3。


3、相似多边形的性质：


(1)对应边成比例；


(2)对应角相等。


如：五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，则有∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠E＝∠E′，且。


(3)相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。


(4)相似多边形中的对应线段的比等于相似比。


(5)相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。





练一练：


1．两个多边形相似的条件是( )


A．对应角相等 eq \a\vs4\al(B).对应边成比例


eq \a\vs4\al(C).对应角相等或对应边成比例 eq \a\vs4\al(D).对应角相等且对应边成比例








2. 下列每组中的两个图形形状相同的是( )





3.下列命题中，正确的是


A. 对角线相等的四边形是平行四边形


B. 对角线互相平分，互相垂直的四边形是正方形


C. 所有的矩形都是彼此相似的四边形


D. 所有的等边三角形都是彼此相似的三角形


4.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )








A．60° B．87° C．75° D．120°


5．如图25－7－1，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，若AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是( )





A．10 eq \a\vs4\al(B).12 eq \a\vs4\al(C).eq \f(45,4) eq \a\vs4\al(D).eq \f(36,5)


6. 两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( )


A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,9) D.eq \f(9,4)


7. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：


甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．


乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．


对于两人的观点，下列说法正确的是( )





A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对


8.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）


A. B. C. D.2





9. 在下列四个命题中：①所有的等腰直角三角形都相似；②所有的等边三角形


都相似；③所有的正方形都相似；④所有的菱形都相似．其中真命题有 个。


10. 如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．








11. 已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，且AB：BC：CD：AD＝7：8：11：14，若四边形EFGH的周长为80，求四边形EFGH各边的长．

















12. 如图所示，四边形ABCD∽四边形AʹBʹCʹDʹ，根据图中提供的数据，请求出 BʹCʹ，CʹDʹ 的长度和角 α 的大小．























13. 如图所示，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为 23


（1） 求四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的对角线 A1C1:A2C2 的值．


（2）如果四边形 A1B1C1D1 的周长为 44，四边形 A2B2C2D2 四边的比为 4:5:6:7．求四边形 A2B2C2D2 各边的长．





























14. 如图所示，在梯形 ABCD 中，EF∥AD∥BC，且 AEEB=EFBC=DFFC=ADEF，试说明 梯形AEFD∽梯形EBCF．




















知识点二：位似图形


1.位似图形的定义：


如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。


注意：(1)位似图形是针对两个相似图形而言的。


(2)位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。


(3)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，而相似图形不一定构成位似图形。


例如下图△ABC与△A'B'C'是位似图形，O即为位似中心














2. 位似图形的性质：


(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。


(2)两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比，它们的各对对应边分别平行或在同一直线上。








练一练：


1.下面给出了相似的一些命题：


（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相


似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）


A．2个 B．3个 C．4个 D．5个


2.下列说法错误的是（ ）.


A.位似图形一定是相似图形.


B.相似图形不一定是位似图形.


C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.


D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.


3.△ABC与△A'B'C'是位似图形，且对应边AB与A'B'之比为1:3，则△ABC的周长与△A'B'C'的周长之比为（ ）





4.下列说法正确的是（ ）


A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE


是ABC放大后的图形.


B.两位似图形的面积之比等于相似比.


C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.


D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.


5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( )


A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


6．如图，点P(10, 6)在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC各边长缩小到原来的12，得到△A'B'C'，点P在A'C'上的对应点P'的的坐标为( )


A.(5, 5) B.(3, 5) C.(4, 3) D.(5, 3)











6题图 7题图


7．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:2，点A的坐标为(1, 0)，则E点的坐标为（ ）


A.(2, 0) B.(1, 1) C.2, 2 D.(2, 2)


8．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点(a, b)对应大鱼上的点( )


A.(-2a, 2b) B.(-2a, -2b)


C.(-2b, -2a) D.(-2a, -b)





9．七边形ABCDEFG与七边形A1B1C1D1E1F1G1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4:9，已知位似中心O到A的距离为2，则A到A1的距离为________．


10. 如图，A'B' // AB，B'C' // BC，且OA':OA=4:7，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________．





11. 如图，已知点E(-4, 2)，点F(-1, -1)，以O为位似中心，把△EFO放大为原来的2倍，则E点的对应点坐标为________．





12. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A'B'C'D'E'，已知


OA=10cm，OA'=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A'B'C'D'E'的周长的比值是________．








13. 如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，且位似比为32，若五边形ABCDE 的面积为18cm2，周长为21cm，那么五边形A'B'C'D'E'的面积为________cm2，周长为________cm．





14. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB＝3OB'，则△A'B'C'与


△ABC的面积比为________．





知识点三：位似图形的画法


画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到相应的位似图形


练一练：


1．如图，在6×7的正方形网格中，A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是( )





A．点P1 eq \a\vs4\al(B).点P2 eq \a\vs4\al(C).点P3 eq \a\vs4\al(D).点P4


2. 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）





3.ΔABC与ΔDEF是位似图形(如图)，相似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长等于( )





A、6 B、5 C、9 D、





4．分别在直角坐标系中描出点





(1)(0, 0)，(5, 4)，(3, 0)，(5, 1)(5, -1)，(3, 0)，(4, -2)，(0, 0)；按描点的顺序连线．


(2)(0, 0)，(10, 8)，(6, 0)，(10, 2)，(10, -2)，(6, 0)，(8, -4)，(0, 0)按描点的顺序连线．


（3）你得到两个怎样的图形？答：________．


5．如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-6, 0)，B(-2, 4)，C(0, 2)．分别以点C，O为位似中心，画出△ABC的位似图形△CDE和△FGH，且同时满足下列两个条件：


(1)位似图形在位似中心两侧；


(2)△CDE，△FGH与△ABC的面积比都是1:4．


（只画出图形，并标上相应字母）














6. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2, 7)，B(6, 8)，C(8, 2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标．（不要求写出作法）


（1）以O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，


使△A1B1C1与△ABC的位似比为1:2；


（2）△A1B1C1的面积是________．


A.3:1
B.1:9
C.1:3
D.1:3
A.点M
B.点N
C.点O
D.点P