2025秋九年级数学上册第25章图形的相似综合素质评价试卷（附解析冀教版）

这是一份2025秋九年级数学上册第25章图形的相似综合素质评价试卷（附解析冀教版），共11页。
第二十五章 综合素质评价一、选择题（共12个小题，每个3分，共36分）1．长度为下列选项中的数值的四条线段成比例的是（ ）A. 1，1，2，3B. 3，6，4，7C. 5，6，7，8D. 2，3，6，9【答案】D2．已知xy=34，那么下列四个选项中一定正确的是（ ）A. 3xy=94B. x+3y+3=67C. x2y=94D. x+yx-y=7【答案】A3．若两个相似三角形的对应中线之比为2:3，则它们的对应高之比为（ ）A. 2:3B. 4:9C. 9:4D. 3:2【答案】A4．[［2025石家庄裕华区校级期末］]若四边形ABCD∼ 四边形A'B'C'D'，且AB:A'B'=3:5，已知B'C'=15，则BC的长是（ ）A. 25B. 9C. 20D. 15【答案】B5．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1:2，若点B的坐标为(1,1)，则点D的坐标是（ ）（第5题）A. (3,3)B. (4,4)C. (5,5)D. (6,6)【答案】A6．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形是（ ）A. B. C. D. 【答案】D7．唢呐是山西八大套的乐器之一.如图，一个中号唢呐AB的长约为40 cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，则该装饰与吹口的距离AP为（ ）（第7题）A. (205-20)cmB. (205+20)cmC. (60-205)cmD. (40-205)cm【答案】A【点拨】由题意可得APAB=5-12，即AP40=5-12，∴AP=205-20(cm)，故选A.8．在平面直角坐标系内，线段AB的两个端点的坐标分别为A(-6,3)，B(-6,0)，以原点O为位似中心，相似比为13，将线段AB缩小得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标为（ ）A. (-2,1)B. (1,-2)或(-1,2)C. (2,-1)D. (-2,1)或(2,-1)【答案】D【点拨】∵ 以原点O为位似中心，相似比为13，将线段AB缩小得到线段A'B'，∴ 点A'的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的±13，∴ 点A'的坐标为(-2,1)或(2,-1).故选D.9．如图，AD是△ABC的中线，∠B=90∘ ，AB=3，CE⊥BC于点C，CE=5，且∠ADE=90∘ ，则AE的长为（ ）（第9题）A. 13B. 11C. 8D. 6【答案】C【点拨】如图，过点A作AH⊥EC于点H，则∠AHC=90∘ .∵∠ADE=90∘ ，∴∠ADB+∠CDE=90∘ .∵CE⊥BC于点C，∴∠DCE=90∘ .∴∠CED+∠CDE=90∘ .∴∠ADB=∠CED.又∵∠ABD=∠DCE=90∘ ，∴△ABD∼△DCE.∴AB:DC=BD:CE.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.又∵AB=3，CE=5，∴BD=CD=15.∴BC=2CD=215.∵∠B=∠DCE=∠AHC=90∘ ，∴ 四边形ABCH是矩形.∴CH=AB=3，AH=BC=215.∴EH=5-3=2.∴AE=EH2+AH2=8.10．手影游戏利用的物理原理是“光是沿直线传播的”，图①中的小狗手影就是我们小时候常玩的游戏.在一次游戏中，小明距离墙壁4 m，爸爸拿着的光源与小明的距离为2 m，如图②所示.若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（ ）A. 增加0.5 mB. 增加1 mC. 增加2 mD. 减少1 m【答案】C【点拨】如图①,点O为光源，AB为小明的手，CD表示小狗手影，则AB//CD，作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD.∵AB//CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC.∴△OAB∼△OCD.∴ABCD=OEOF.易知OE=2 m，OF=6 m，∴ABCD=OEOF=26=13.令AB=k m，则CD=3k m.∵ 在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图②，∴OF'=6 m，A'B'=k m，C'D'=32k m.易得△OA'B'∼△OC'D'，∴A'B'C'D'=OE'OF'=k32k=23，则OE'6=23.∴OE'=4 m.∴ 光源与小明的距离应增加4-2=2(m).故选C.11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，∠A=30∘ ，BC=2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2=DE⋅BD，连接CE,EF，则EF的最小值为（ ）（第11题）A. 3-1B. 1C. 32D. 12【答案】A【点拨】在△CED和△BDC中，∵CD2=DE⋅BD，∴CDDB=DEDC.∵∠EDC=∠CDB，∴△CDE∼△BDC.∴∠DEC=∠DCB=90∘ .∴∠BEC=180∘-∠DEC=90∘ .如图，取BC中点Q，连接FQ，EQ，则EQ=12BC=1.∵∠A=30∘ ，∠ACB=90∘ ，∴AB=2BC=4，∴AC=42-22=23.又∵F为AB中点，∴FQ为△ABC的中位线，∴FQ=12AC=3.当且仅当E，F，Q三点共线时，EF可以取到最小值，最小值为3-1，∴EF最小值为3-1.故选A.12．如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中直角三角形纸片A，B，C的面积分别是S1，S2，S3，若S1>S2>S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）（第12题）A. 4S1B. 6S2C. 4S2+3S3D. 3S1+4S3【答案】A【点拨】如图，由题意设三角形纸片A,B,C的相似比为k，EF=m，则GH=mk，FH=mk2.∴EH=m(1+k2).∴FM=m(1+k2)k，FK=km(1+k2).则易得km(1+k2)+mk=m(1+k2)k，整理得k4+k2-1=0，∴k2=-1+52或-1-52（舍去）.∴S2=-1+52S1，S3=(-1+52)2S1=3-52S1.∴S2+S3=S1.∴ 这个矩形的面积=2S1+2(S2+S3)=4S1.二、填空题（共4个小题，每个3分，共12分）13．某机器零件的长度为70 cm，将其缩小在比例尺为1:10的图纸上的长度为_ _ _ _ cm.【答案】714．如图，F是△ABC的边AB上的一点，连接CF，要使△CBF∼△ABC，还需要添加一个条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一个即可）.（第14题）【答案】∠BCF=∠BAC（答案不唯一）15．如图是一个常见铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA，垂足为D，DA=15 mm，DO=24 mm，DC=10 mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为mm．（第15题）【答案】30【点拨】连接AB，OC，延长OC交AB于H，如图，∴OC=CD2+OD2=102+242=26(mm).易知OH⊥AB，AH=BH，∴∠AHO=∠CDO=90∘ .又∵∠AOH=∠COD，∴△AOH∼△COD，∴AHCD=OAOC，∴AH10=15+2426，∴AH=15 mm，∴AB=2AH=30 mm.16．[［2025张家口校级月考］]如图，点E是▱ABCD对角线AC上一点，AE=14AC.连接DE并延长，交AB于点G，过点G作GF//AC，交BC于点F，▱ABCD的面积为72，则四边形EGFC的面积为.（第16题）【答案】17【点拨】∵▱ABCD的面积为72，∴AB//CD，AB=CD，S△A CD=S△A BC=12S▱A BCD=36.∵AE=14AC，∴AE:EC=1:3，S△DEC=34S△ACD=27.∵AB//CD，∴△AEG∼△CED，∴AGCD=AECE=13.∴AGAB=13，S△AEG:S△DCE=1:9.∴BGAB=23，S△AEG=19S△DCE=3.∵GF//AC，∴△BFG∼△BCA.∴S△BFGS△BCA=(BGAB)2=49，∴S△BFG=49S△BCA=16，∴ 四边形EGFC的面积为S△BCA-S△BFG-S△AEG=36-16-3=17.三、解答题（共72分）17．（8分）已知：a2=b3=c5.（1） 求代数式2a+3b-5ca-2b+3c的值；（2） 当2a+b+3c=44时，求a，b，c的值.【答案】（1） 【解】设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，∴ 原式=4k+9k-25k2k-6k+15k=-12k11k=-1211.（2） 把a=2k，b=3k，c=5k代入2a+b+3c=44，得4k+3k+15k=44，解得k=2，∴a=4，b=6，c=10.18．（10分）在6×6的方格纸中，请按下列要求作图.（1） 在图①中画出一个以点C为位似中心，且与△ABC位似的格点三角形CDE（位似比不为1）；（2） 在图②中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得AMCM=12．【答案】（1） 【解】如图①，△CDE即为所求.（2） 如图②，点M即为所求.19．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD=∠B，DE//BC.（1） 求证：△ADE∼△ABC；（2） 若DE=6，BC=10，求线段CD的长.【答案】（1） 【证明】∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB.∴△ADE∼△ABC.（2） 【解】∵DE//BC，∴∠BCD=∠EDC.∵∠B=∠DCE，∴△CDE∼△BCD.∴DECD=CDBC.∴6CD=CD10.∴CD=215.20．（12分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上，PQ交AD于H点.（1） 当点P恰好为AB中点时，PQ=mm；（2） 若矩形PNMQ的周长为220 mm，求出PN的长度.【答案】（1） 60（2） 【解】∵ 四边形PNMQ为矩形，∴PQ//BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∴PN=DH.设PN=DH=x mm，则AH=AD-DH=(80-x)mm.∵ 四边形PNMQ为矩形，∴PQ=MN，PN=MQ.∵ 矩形PNMQ的周长为220 mm，∴PQ=(110-x)mm.∵PQ//BC，∴△APQ∼△ABC，∴AHAD=PQBC，∴80-x80=110-x120，∴x=20.∴PN=20 mm.21．（14分）某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度.如图，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8 cm的发光物AB进行移动，使物距OB为32 cm，光线AO，BO通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A'B'，此时测得像距OB'为12.8 cm.（1） 求像A'B'的长度；（2） 已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过主光轴上的点F，求OF的长.【答案】（1） 【解】∵AB⊥l，A'B'⊥l，∴AB//A'B'，∴△AOB∼△A'OB'，∴AB:A'B'=OB:OB'，∴8:A'B'=32:12.8，∴A'B'=3.2 cm.（2） 设OF=x cm.∵AB⊥l，OP⊥l,∴AB//OP.∵AP平行于主光轴l，∴ 四边形ABOP是平行四边形，∴PO=AB=8 cm，∵PO⊥l，A'B'⊥l，∴PO//A'B'，∴△POF∼△A'B'F，∴PO:A'B'=OF:B'F.∵B'F=OB'-OF=(12.8-x)cm，∴8:3.2=x:(12.8-x)，∴x=647.∴OF=647 cm.22．（16分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α ，P是线段CA延长线上的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为α ，得到线段PD，连接DB，DC.（1） 如图①，当0∘