初中数学冀教版九年级上册第24章 一元二次方程综合与测试课后作业题

这是一份初中数学冀教版九年级上册第24章 一元二次方程综合与测试课后作业题，共14页。试卷主要包含了下列方程是一元二次方程的是，关于x的一元二次方程，已知实数x满足，若关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第24章一元二次方程》能力达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0
C．x2﹣＝5 D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
2．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
3．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2021+3a﹣3b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
4．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　）
A．17 B．11 C．15 D．11或15
5．将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，那么a+b的值为（　　）
A．9 B．11 C．14 D．17
6．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
8．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣3 B．a≠1 C．a＞﹣3且a≠1 D．a≥﹣3且a≠1
9．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．2021年是中国共产党成立100周年，某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友图，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有931人参与了传递活动，则方程列为（　　）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
11．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为（　　）

A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3
二．填空题（共6小题，满分24分
13．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+2的值为 　 　．
14．菱形ABCD的两条对角线长为方程y2﹣12y+32＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为 　 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝　 　；若+＝﹣8，则a＝　 　．
16．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列结论：①若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；③若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是 　 　．
17．为确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 　 　．
18．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　 　cm2．

三．解答题（共7小题，满分60分）
19．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2．
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程．
20．计算题．
（1）分解因式：x3﹣2x2y+xy2；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：＝+1；
（4）解方程：x（2x+1）＝8x﹣3．
21．已知x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，求直线y＝mx﹣2经过哪些象限．
22．已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2+x1•x2＝4，求k的值．
23．有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．




24．大学生小王成立的农产品公司预计用3年时间实现三种农产品售出a万元的目标．2020年，出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍．随后两年，A产品每年都增加b万元，预计A产品三年总售价为54万元时达成目标：B产品销售额从2021年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在2022年只需售出5万元，即可顺利达成；C产品2021年销售额在前一年基础上的增长率是A产品2021年销售额增长率的1.5倍，2022年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元，若这样，C产品也可以如期售完．经测算，这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到3：2．
（1）这三年用于C产品的销售额达到多少万元？
（2）求B产品逐年递减的百分数．
25．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？


参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：A、x（x+3）＝0，是一元二次方程，符合题意；
B、x2﹣4y＝0，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；
C、x2﹣＝5，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
3．解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0，
则a﹣b＝1，
所以原式＝2021﹣3（a﹣b）
＝2021﹣3×1
＝2021﹣3
＝2018，
故选：D．
4．解：（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
解得x1＝5，x2＝1．
若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；
若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，
则此三角形的周长是15．
故选：C．
5．解：方程x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝14，即（x﹣3）2＝14，
∴a＝3，b＝14，
则a+b＝17．
故选：D．
6．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，
则x＝＝＝3±2，
故选：D．
7．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
8．解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣3且a≠1．
故选：D．
9．解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
10．解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
11．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
12．解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，

∵CC2∥DE，CC2＝DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D＝C2E，
又∵C、C1关于AB对称，
∴CD＝C1D，
∴CD+EF＝C2F，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CN＝，AN＝3，
过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN＝C1C2＝，
∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，
∴∠MC2E＝∠A＝30°，
在Rt△C2ME中，ME＝1，C2M＝，C2E＝2，
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴EF＝1﹣，
∴C2F＝2+1﹣＝3﹣．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：原式＝3（2a﹣b）+2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，
∴4a﹣2b+6＝0，
4a﹣2b＝﹣6，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴原式＝3×（﹣3）+2＝﹣9+2＝﹣7，
故答案为：﹣7．
14．解：∵y2﹣12y+32＝0，
∴（y﹣8）（y﹣4）＝0，
∴y﹣8＝0或y﹣4＝0，
解得y1＝8，y2＝4，
即菱形ABCD的对角线长为8和4，
∴菱形的边长＝＝2，
∴菱形ABCD的周长为4×2＝8．
故答案为．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2+4a2＞0．
∴a是任意实数．
根据题意知，x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a2，
则由+＝﹣8得：＝＝﹣8．
解得a＝±．
故答案是：2；±．
16．解：若方程两根为﹣1和2，则＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，2a+c＝2a﹣2a＝0，故①正确；
由b＞a+c不能判断Δ＝b2﹣4ac值的大小情况，
故②错误；
若b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故③正确．
若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），
而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2
＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2
＝4abm﹣4abm﹣4ac+b2
＝b2﹣4ac．故④正确；
故答案为：①③④．
17．解：依题意得：（1+a%）（1+2a%）＝1+68%，
令m＝a%，则原方程可化简为2m2+3m﹣0.68＝0，
解得：m1＝0.2，m2＝﹣1.7．
又∵m＝a%，
∴a1＝20，a2＝﹣170（不合题意，舍去）．
故答案为：20．
18．解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x）•x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．解：（1）∵（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2是一元二次方程，
∴m2+2≠3，
解得m≠±1；
（2）∵（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2是一元一次方程，
∴，
解得m＝﹣1．
20．解：（1）x3﹣2x2y+xy2＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2；
（2）解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2；
（3）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：x（x+1）＝4+（x+1）（x﹣1），
解得x＝3，
当x＝3时，（x+1）（x﹣1）＝4×2＝8≠0，
∴分式方程的解为x＝3；
（4）整理，得：2x2﹣7x+3＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝．
21．解：∵x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，
∴4m2﹣4＝0，
解得：m＝±1，
根据题意，得m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣1＜0．
∴直线y＝mx﹣2经过的象限是第二、三、四象限．
22．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k≠0，即12﹣4k×（﹣3）＞0且k≠0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，
由题意可得（﹣）2﹣＝4，即4k2+3k﹣1＝0，
解得k＝或k＝﹣1，
经检验可知：k1＝k2＝﹣1都是原分式方程的解，
由（1）可知k＞﹣且k≠0，
∴k＝．
23．解：设截去的小正方形的边长为xcm，根据题意列方程，得
（12﹣2x）（8﹣2x）＝32．
整理，得x2﹣10x+16＝0．
解得x1＝8，x2＝2．
x1＝8不合题意，舍去．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
24．解：（1）54×＝36（万元），
答：这三年用于C产品的销售额达到36万元；
（2））设2020年，C产品的销售额为x万元，则A产品的销售额为2x万元，B产品的销售额是4x万元，
根据题意，得：，
解得：，
由x＝5得，2020年B产品的销售额为20万元，
设从2021年开始，B产品的销售额逐年递减的百分数为y，
由题意，得：20（1﹣y）2＝5，
解得：y1＝0.5，y2＝1.5（舍）
答：B产品逐年递减的百分数为50%．
25．解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，
∴（6﹣x）•2x＝××6×8，
∴x2﹣6x+12＝0，
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0＜t≤4
由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4＜t≤6，
由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+25＝0，
解得：t1＝t2＝5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时t＞6，
由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），
综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．