人教A版 (2019)必修 第一册充要条件导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册充要条件导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【自主学习】
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件.
思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
④若p eq \(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若p eq \(⇒,/)q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
三．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件．
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“⇔”具有传递性．( )
(3)若p eq \(⇒,/)q和q eq \(⇒,/)p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．( )
2．“ab＝0”是“a＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【经典例题】
题型一 充要条件的判断
点拨：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
2.集合法：情形如下：记命题p：集合A，命题q：集合B.
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．
②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．
③若A＝B，则p，q互为充要条件．
3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：，q：．
【跟踪训练】1已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
题型二 充要条件的证明
点拨：充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
例2 已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
【跟踪训练】2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型三 充要条件的应用
点拨：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
例3 设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
【跟踪训练】3 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【当堂达标】
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件
4.函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________．
5.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
6.求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
【课堂小结】
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
【参考答案】
【自主学习】
p⇒q q⇒p p⇔q 充要
充要
思考：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
三、p⇔s
【小试牛刀】
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2.B
【经典例题】
例1 解:（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q eq \(⇒,/)p，所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p ⇔ q，所以p是q的充要条件。
（3）因为当xy >0时，x>0,y>0不一定成立，所以p eq \(⇒,/)q,所以p不是q的充要条件。
（4）若，则，即；若，则，即，故，
所以p是q的充要条件．
【跟踪训练】1 解：作出“⇒”图，如右图所示，
可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.
(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.
例2 解：设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.
（1）充分性(p⇒q)：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0，
∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，
∵ab≠0，a2-ab+b2=，
∴a+b-1=0，即a+b=1.
（2）必要性(q⇒p)：
∵a+b=1，
∴b=1-a，
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，
综上所述，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
【跟踪训练】2 证明：必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0.
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
例3 m＞2 解析：因为A＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1＞3，即m＞2.
【跟踪训练】3 解：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,x1－1x2－1>0，,x1－1＋x2－1>0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,x1x2－x1＋x2＋1>0，,x1＋x2－2>0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,k2＋2k－1＋1>0，,－2k－1－2>0))⇔ky，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)