人教A版 (2019)必修 第一册充要条件当堂检测题

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一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据“”和“”的逻辑推理关系，即可判断答案.
【详解】由可以推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选:A
2．设P：，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】由不能推出，例如，
但必有，
所以：是：的必要不充分条件.
故选：B.
3．“”是”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由得，两边平方化简即可得结果.
【详解】由，
由此可知“”是”的充要条件.
故选：C.
4．设p：x > y，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不必要也不充分条件
【答案】D
【分析】分别判断与是否成立，进而判断答案.
【详解】先验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立；
再验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立.
故选：D.
二、多选题
5．对于任意实数a、b、c，下列命题是真命题的是（ ）
A．“”是“”的充要条件B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】BD
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】解：“”“”为真命题，但当时，“”“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
“是无理数”“a是无理数”为真命题，“a是无理数”“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
“”“”为假命题，“”“”也为假命题，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；
因为由能得出，而由得不一定成立，故“”是“”的必要条件，故D为真命题.
故选：BD.
6．下列结论中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．在中，“是”为直角三角形“的充要条件”
C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
【答案】CD
【分析】根据充分性和必要性的定义对各个选项逐一分析即可得出答案.
【详解】解：对于A，若，则或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
对于B，在中，若，则为直角三角形，反之，若为直角三角形，直角为时，不成立，所以“是”为直角三角形“的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若，则a，b不全为0，若a，b不全为0，则，所以“”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；
对于D，当x为无理数，若，则为有理数，若为无理数，则x为无理数，所以“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，故D正确.
故选：CD.
7．对任意实数a，b，c，给出下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】BCD
【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】A，由“”可得“”，反之，由“”不一定得到“”，
故“”是“”的既充分也不必要条件，故A错误；
B，由“”可得“”，反之，“”可得“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
C，由“”由指数函数的单调性可得“”，反之也成立，
故“”是“”的充要条件，故C正确；
D，若“”，当其中一个为负数时，则“”不成立，
反之，若“”，可得“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：BCD
8．下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等
D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分
【答案】BC
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：对于A：由，得，或，，故不是的充要条件，故A错误；
对于B：由，则，若则，故是的充要条件，故B正确；
对于C：三角形是等腰三角形三角形存在两角相等，故是的充要条件，故C正确；
对于D：四边形的对角线互相垂直且平分四边形为菱形，故不是的充要条件，故D错误；
故选：BC
三、填空题
9．k>4，b4时，k－4>0，b1；：x>1且y>1.
(2)：x是整数；：x2是正整数.
(3)：a>0；：函数y=ax2+x没有最大值.
【答案】(1)必要不充分条件；(2)既不充分也不必要条件；(3)充分不必要条件
【分析】（1）、取判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，得出结论；
（2）、取判断充分性是否成立，取判断必要性是否成立，得出结论；
（3）、若则抛物线开口向上，判断函数是否存在最值判断充分性是否成立，若函数没有最大值，得出的范围判断必要性是否成立，得出结论；
(1)若，满足所以充分性不成立；若则所以必要性成立；
所以是的必要不充分条件；
(2)取,满足是整数，但不是正整数，所以充分性不成立；
取，满足是正整数，但不是整数，所以必要性不成立，
所以是的既不充分也不必要条件；
(3)若则抛物线开口向上，函数没有最大值，所以充分性成立；
若函数没有最大值，则所以必要性不成立；所以是的充分不必要条件；
17．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．
【分析】先证必要性，再由反证法结合不等式的性质证明即可.
【详解】证明：（必要性）由，，，显然有，，．
（充分性）用反证法：假设，，不成立，则a，b，c中至少有一个不大于0．
由a，b，c的对称性，不妨设
由得，从而由，得，即
故，于是．这与矛盾，于是假设不成立．
因此，，，．
18．已知a、b、c为的三边长，集合，．
(1)若，求；
(2)求的充要条件．
【答案】(1)
(2)的充要条件是
【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；
（2）由集合的交集运算，结合判别式得出，再由，得出.
(1)由，得，，
从而
(2)当时，，，且存在，使得，．
于是，
又a、b、c为的三边长，得．
从而的充要条件是
②③，并注意到，得．④
将④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．
【能力提升】
一、单选题
1．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
【答案】D
【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.
【详解】因为，故，故①错误；
而，故，故②正确；
由“类”的定义可得，
任意，设除以4的余数为，则，
故，所以，
故，故③正确
若整数a，b属于同一“类”，设此类为，
则，故即，
若，故为的倍数，故a，b除以4 的余数相同，
故a，b属于同一“类”，
故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确；
2．已知，，则“使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.
【详解】若使得，则有成立；
若，则有使得成立.
则“使得”是“”的充要条件
故选：C
二、多选题
3．已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（ ）
A．“xy>0”是“”的充要条件B．“x>y”是“”的充要条件
C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】根据即可判断A，取特例可判断B，由不等式性质判断C，分析分母不
0可判断D.
【详解】因为与等价，故“xy>0”是“”的充要条件，A正确；
因为，，推不出，故B错误；
因为当，时推不出xy≠0，当时，能推出，
所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件，C正确；
由可得，当满足时，才可得，即推不出，
反之，当时，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分条件，故D不正确.
故选：AC
三、填空题
4．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件
【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.
（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.
（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.
（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.
故答案为（1）（2）（3）.
四、解答题
5．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
6．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
【分析】利用充分必要条件的概念及二次函数的性质即可求解.
【详解】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，
所以a≥1，且0