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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件同步测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件同步测试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
养成好习惯
一、单选题
1．不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设实数满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
5．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
6．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
二、多选题
7．对任意实数，，，下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
E．“”是“”的必要不充分条件
8．已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
三、填空题
9．设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件．
10．．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
11．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
12．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
四、双空题
13．设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，则正实数的取值范围是 ；
(2)若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是 .
14．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.
若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；
若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
五、解答题
15．已知为实数，写出关于的方程至少有一个实数根的充要条件、一个充分不必要条件，一个必要不充分条件.
16．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
17．设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P20-22
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
1. 去分母要注意正负；
2. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
请将1-8题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
1.4.2 充要条件
1．不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
1．D
【分析】根据充分、必要条件的定义判断.
【详解】由，但，所以由“”不能推出“”；
又，但，所以由“”不能推出“”，
即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．C
【解析】根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为
当时, ,所以.即“”是“”的充分条件.
当时,由于成立,所以,即“”是“”的必要条件.
综上可知, “”是“”的充要条件
故选:C
【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.
3．设实数满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．C
【分析】先将条件进行变形，可得.再根据充分必要条件分别判断即可.
【详解】因为，
即，
所以，则，
若，则，所以是充分条件；
若，则，所以是必要条件，
综上可知，“”是“”的充要条件，
故选：C
【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，根据不等式性质对不等式变形及应用，属于基础题.
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
4．B
【详解】试题分析：考虑到原命题与逆否命题等价，所以若“”则“”其逆否命题是若“”
则“且”，很显然，“”是“且”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.
考点：1.逆否命题；2.充分必要条件.
5．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
5．C
【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
6．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
6．A
【分析】对、的符号以及、是否相等分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系.
【详解】（1）若，.
①若，不等式即为，则，不等式即为，得，，；
②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，得，，则；
（2）同理可知，当，时，，不一定为；
（3）若，.
①若，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；
②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；
（4）同理，当，时，.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
7．对任意实数，，，下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
E．“”是“”的必要不充分条件
7．BDE
【分析】根据必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，对题目中的五个选项逐一进行分析即可得到答案.
【详解】对于A，“”能推出“”，但当c＝0时，“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
对于B，“＋5是无理数”能推出“是无理数”，“是无理数”能推出“＋5是无理数”，故“＋5是无理数”是“是无理数”的充要条件，故B为真命题；
对于C，“”不能推出“”，“”不能推出“”，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故C为假命题；
对于D， 是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题．
对于E，当时，“”不能推出“”，“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故E为真命题；
故选：BDE
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
8．已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
8．CD
【解析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.
【详解】在A中，二次方程有实数根，等价于判别式，解得或，即二次方程有实数根的充要条件是或，故A错误；
在B中，二次方程有一正一负根，等价于，解得，
方程有一正一负根的充要条件是，故B错误；
在C中，方程有两正实数根，等价于解得，故方程有两正实数根的充要条件是，故C正确；
在D中，方程无实数根，等价于得，
而，故是方程无实数根的必要条件，故D正确；
故选：CD．
【点睛】结论点睛：关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的充分条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；
（2）若是的必要条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；
（3）若是的充要条件，则，可互推，即对应集合与对应集合相等.
9．设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件．
9．充分必要
【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果.
【详解】若，则，则，故成立，
若，则，所以，
所以“”是“”的充要条件，
故答案为：充分必要
10．．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
10．3或4
【详解】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．
11．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
11．
【分析】由成立的一个充分不必要条件是，可得，再列不等式求解即可.
【详解】解：由题意，得，但，
∴，∴，即，
故答案为．
【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题.
12．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
12．（1）（2）（3）
【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件
【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.
（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.
（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.
（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.
故答案为（1）（2）（3）.
13．设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，则正实数的取值范围是 ；
(2)若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是 .
13．(1)
(2).
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
14．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.
若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；
若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
14． 或
【分析】根据条件函数的图像与轴只有一个交点，推导出或，因为条件是条件的充分不必要条件即可得到实数的值；根据条件是条件的必要不充分条件，推导出实数的取值范围.
【详解】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意；
当时，的图像与轴只有一个交点，则，符合题意；
条件或
条件是条件的充分不必要条件，则或实数为或
当时，由得，；
当时，由得，；
条件是条件的必要不充分条件，且条件或，条件
，即
故答案为：或；实数的取值范围是.
15．已知为实数，写出关于的方程至少有一个实数根的充要条件、一个充分不必要条件，一个必要不充分条件.
15．充要条件：；充分非必要：的真子集即可，比如；必要不充分：真包含即可，比如.
【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件，和一元二次方程和根的判别式的关系，即可得到.
【详解】（1）方程有实数根的充要条件是，或，解得，
即至少有一个实数根的充要条件是；
（2）至少有一个实数根的一个充分不必要条件为的真子集即可，比如；
（3）至少有一个实数根的一个必要不充分条件真包含即可，比如.
【点睛】本题以含有字母参数的一元二次方程有无实数根的讨论为载体，考查了充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
16．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
16．证明过程见解析
【分析】利用充分必要条件的概念及二次函数的性质即可求解.
【详解】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，
所以a≥1，且0<≤1，
故当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.
再证充分性：因为b≥2，当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，
所以对于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要条件是b≥2.
【点睛】关键点睛：证明充分必要条件时，要分开证明充分性和必要性，这样逻辑比较清晰.
17．设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
17．（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.
【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.
养成好习惯
一、单选题
1．不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设实数满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
5．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
6．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
二、多选题
7．对任意实数，，，下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
E．“”是“”的必要不充分条件
8．已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
三、填空题
9．设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件．
10．．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
11．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
12．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
四、双空题
13．设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，则正实数的取值范围是 ；
(2)若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是 .
14．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.
若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；
若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
五、解答题
15．已知为实数，写出关于的方程至少有一个实数根的充要条件、一个充分不必要条件，一个必要不充分条件.
16．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
17．设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P20-22
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
1. 去分母要注意正负；
2. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
请将1-8题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
1.4.2 充要条件
1．不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
1．D
【分析】根据充分、必要条件的定义判断.
【详解】由，但，所以由“”不能推出“”；
又，但，所以由“”不能推出“”，
即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．C
【解析】根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为
当时, ,所以.即“”是“”的充分条件.
当时,由于成立,所以,即“”是“”的必要条件.
综上可知, “”是“”的充要条件
故选:C
【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.
3．设实数满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．C
【分析】先将条件进行变形，可得.再根据充分必要条件分别判断即可.
【详解】因为，
即，
所以，则，
若，则，所以是充分条件；
若，则，所以是必要条件，
综上可知，“”是“”的充要条件，
故选：C
【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，根据不等式性质对不等式变形及应用，属于基础题.
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
4．B
【详解】试题分析：考虑到原命题与逆否命题等价，所以若“”则“”其逆否命题是若“”
则“且”，很显然，“”是“且”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.
考点：1.逆否命题；2.充分必要条件.
5．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
5．C
【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
6．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
6．A
【分析】对、的符号以及、是否相等分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系.
【详解】（1）若，.
①若，不等式即为，则，不等式即为，得，，；
②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，得，，则；
（2）同理可知，当，时，，不一定为；
（3）若，.
①若，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；
②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；
（4）同理，当，时，.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
7．对任意实数，，，下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
E．“”是“”的必要不充分条件
7．BDE
【分析】根据必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，对题目中的五个选项逐一进行分析即可得到答案.
【详解】对于A，“”能推出“”，但当c＝0时，“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
对于B，“＋5是无理数”能推出“是无理数”，“是无理数”能推出“＋5是无理数”，故“＋5是无理数”是“是无理数”的充要条件，故B为真命题；
对于C，“”不能推出“”，“”不能推出“”，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故C为假命题；
对于D， 是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题．
对于E，当时，“”不能推出“”，“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故E为真命题；
故选：BDE
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
8．已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
8．CD
【解析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.
【详解】在A中，二次方程有实数根，等价于判别式，解得或，即二次方程有实数根的充要条件是或，故A错误；
在B中，二次方程有一正一负根，等价于，解得，
方程有一正一负根的充要条件是，故B错误；
在C中，方程有两正实数根，等价于解得，故方程有两正实数根的充要条件是，故C正确；
在D中，方程无实数根，等价于得，
而，故是方程无实数根的必要条件，故D正确；
故选：CD．
【点睛】结论点睛：关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的充分条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；
（2）若是的必要条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；
（3）若是的充要条件，则，可互推，即对应集合与对应集合相等.
9．设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件．
9．充分必要
【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果.
【详解】若，则，则，故成立，
若，则，所以，
所以“”是“”的充要条件，
故答案为：充分必要
10．．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
10．3或4
【详解】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．
11．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
11．
【分析】由成立的一个充分不必要条件是，可得，再列不等式求解即可.
【详解】解：由题意，得，但，
∴，∴，即，
故答案为．
【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题.
12．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
12．（1）（2）（3）
【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件
【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.
（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.
（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.
（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.
故答案为（1）（2）（3）.
13．设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，则正实数的取值范围是 ；
(2)若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是 .
13．(1)
(2).
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
14．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.
若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；
若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
14． 或
【分析】根据条件函数的图像与轴只有一个交点，推导出或，因为条件是条件的充分不必要条件即可得到实数的值；根据条件是条件的必要不充分条件，推导出实数的取值范围.
【详解】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意；
当时，的图像与轴只有一个交点，则，符合题意；
条件或
条件是条件的充分不必要条件，则或实数为或
当时，由得，；
当时，由得，；
条件是条件的必要不充分条件，且条件或，条件
，即
故答案为：或；实数的取值范围是.
15．已知为实数，写出关于的方程至少有一个实数根的充要条件、一个充分不必要条件，一个必要不充分条件.
15．充要条件：；充分非必要：的真子集即可，比如；必要不充分：真包含即可，比如.
【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件，和一元二次方程和根的判别式的关系，即可得到.
【详解】（1）方程有实数根的充要条件是，或，解得，
即至少有一个实数根的充要条件是；
（2）至少有一个实数根的一个充分不必要条件为的真子集即可，比如；
（3）至少有一个实数根的一个必要不充分条件真包含即可，比如.
【点睛】本题以含有字母参数的一元二次方程有无实数根的讨论为载体，考查了充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
16．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
16．证明过程见解析
【分析】利用充分必要条件的概念及二次函数的性质即可求解.
【详解】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，
所以a≥1，且0<≤1，
故当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.
再证充分性：因为b≥2，当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，
所以对于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要条件是b≥2.
【点睛】关键点睛：证明充分必要条件时，要分开证明充分性和必要性，这样逻辑比较清晰.
17．设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
17．（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.
【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.
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