数学必修 第一册1.4.2 充要条件同步测试题

这是一份数学必修 第一册1.4.2 充要条件同步测试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

养成好习惯：
一、单选题
1．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
2．“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知､，则成立的一个充要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．若实数，则命题甲“”是命题乙“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
5．设则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设r是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么r是t的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．充分必要条件
二、多选题
7．下列各题中，p是q的充要条件的有（ ）
A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分
B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例
C．p：xy>0；q：x>0，y>0
D．p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；q：a+b+c=0（a≠0）
8．已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
三、填空题
9．集合中至多有一个元素的充要条件是 .
10．设全集为S，集合A，，有下列四个命题：
①； ②； ③； ④．
其中是命题的充要条件的命题序号是 ．
11．对任意实数，，，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④“”是“”的必要条件.其中真命题的序号是 ．
12．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
四、双空题
13．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；
条件.
若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；
若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
14．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.
（1）“”是“”的 ；
（2）“”是“”的 .
五、解答题
15．已知为实数，写出关于的方程至少有一个实数根的充要条件、一个充分不必要条件，一个必要不充分条件.
16．已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx2－4x＋4＝0,
② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件.
17．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件．
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P20-22
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
1. 去分母要注意正负；
2. 表示数轴上动点x到两定点a和b的距离之和.
请将1-8题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
1.4.2 充要条件
1．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
1．C
【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
2．“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．A
【分析】充分性可利用不等式性质进行证明，可举出反例得到必要性不成立.
【详解】因为，故，充分性成立，
若，不妨令，满足，但不满足，必要性不成立，
故“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．已知､，则成立的一个充要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．C
【解析】根据､，将移项通分化简求解.
【详解】
.
故选：C
【点睛】本题主要考查不等关系以及必要条件､充分条件和充要条件的定义，属于基础题.
4．若实数，则命题甲“”是命题乙“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
4．B
【分析】先用特殊值判断 推不出，但可以推出．故可以得到两者之间的关系．
【详解】当时，满足命题甲，但推不出命题乙，∴充分性不具备；当时，显然能推出命题甲“”，∴必要性具备，故选B．
【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.
5．设则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．A
【分析】等价于或，利用充分条件于必要条件的定义判断即可.
【详解】因为等价于或，
所以能推出，不能推出，
则“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试，对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
6．设r是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么r是t的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．充分必要条件
6．D
【解析】根据充分条件，必要条件和充要条件的定义即可得到答案.
【详解】因为是的充分条件，是的充要条件，
所以是的充分条件，即成立.
又因为是的必要条件，所以是的充分条件，即，
因为t是r的充分条件，，所以，即是的充要条件.
故选：D
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件和充要条件，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
7．下列各题中，p是q的充要条件的有（ ）
A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分
B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例
C．p：xy>0；q：x>0，y>0
D．p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；q：a+b+c=0（a≠0）
7．BD
【分析】根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.
【详解】对于A，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，即p不是q的充要条件，A不是；
对于B，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p是q的充要条件，B是；
对于C，xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，即p不是q的充要条件，C不是；
对于D，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，可得a+b+c=0，
反之，当a+b+c=0时，把c=-a-b代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx-a-b=0，即(ax+a+b)(x-1)=0，显然x=1是方程的一个根，即p是q的充要条件，D是.
故选：BD
8．已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
8．CD
【解析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.
【详解】在A中，二次方程有实数根，等价于判别式，解得或，即二次方程有实数根的充要条件是或，故A错误；
在B中，二次方程有一正一负根，等价于，解得，
方程有一正一负根的充要条件是，故B错误；
在C中，方程有两正实数根，等价于解得，故方程有两正实数根的充要条件是，故C正确；
在D中，方程无实数根，等价于得，
而，故是方程无实数根的必要条件，故D正确；
故选：CD．
【点睛】结论点睛：关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的充分条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；
（2）若是的必要条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；
（3）若是的充要条件，则，可互推，即对应集合与对应集合相等.
9．集合中至多有一个元素的充要条件是 .
9．或
【分析】集合中至多有一个元素等价于方程至多一个根，利用判别式求解即可，另外当单独进行验证．
【详解】解：由已知得方程至多一个根，
或，解得
故答案为或
【点睛】本题考查二次方程根的个数，关键注意要对二次项系数是否为零进行讨论，本题是基础题．
10．设全集为S，集合A，，有下列四个命题：
①； ②； ③； ④．
其中是命题的充要条件的命题序号是 ．
10．①②③
【分析】根据集合的补集，交集并集的定义，结合充要条件的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】当时，；当时，，①满足；
当时，；当时，，②满足；
当时，；当时，，③满足；
当时，，④不满足.
故答案为：①②③.
11．对任意实数，，，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④“”是“”的必要条件.其中真命题的序号是 ．
11．②④
【分析】命题①中，当时，结论不一定能推出条件
命题②中，证明命题的充分性和必要性即可
命题③显然不成立，通过列举法说明即可
命题④通过范围大小判断即可
【详解】①中由“”可得，但由“”得不到“”，所以不是充要条件，所以①是假命题；
②中，充分性： 若“是无理数”，判断一定是无理数，充分性成立；必要性：若是无理数，则一定是无理数，必要性成立，②是真命题
③中时，不一定成立，所以③是假命题；
④中由“”得不到“”，但由“”可以得出“”，所以“”是“”的必要条件，所以④是真命题．
【点睛】本题考查根据充要条件来判断命题的真假，需注意充分与必要条件成立的前提，条件能推出结论，充分性成立；结论能推出条件，必要性成立，若涉及范围问题，可巧记为：小推大成立，大推小不成立
12．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
12．
【分析】由成立的一个充分不必要条件是，可得，再列不等式求解即可.
【详解】解：由题意，得，但，
∴，∴，即，
故答案为．
【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题.
13．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
13． 或
【分析】根据条件函数的图像与轴只有一个交点，推导出或，因为条件是条件的充分不必要条件即可得到实数的值；根据条件是条件的必要不充分条件，推导出实数的取值范围.
【详解】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意；
当时，的图像与轴只有一个交点，则，符合题意；
条件或
条件是条件的充分不必要条件，则或实数为或
当时，由得，；
当时，由得，；
条件是条件的必要不充分条件，且条件或，条件
，即
故答案为：或；实数的取值范围是.
14．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“”是“”的 ；（2）“”是“”的 .
14． 充要条件 必要不充分条件
【分析】（1）求得方程的两根以及的根，即可根据集合关系判断关系；
（2）从充分性和必要性的角度即可容易判断.
【详解】（1）设，，
所以，
即“”是“”的充要条件.
（2）因为由“”不能推出“”；由“”能推出“”；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：充要条件；必要不充分条件.
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断和证明，属基础题.
15．已知为实数，写出关于的方程至少有一个实数根的充要条件、一个充分不必要条件，一个必要不充分条件.
15．充要条件：；充分非必要：的真子集即可，比如；必要不充分：真包含即可，比如.
【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件，和一元二次方程和根的判别式的关系，即可得到.
【详解】（1）方程有实数根的充要条件是，或，解得，
即至少有一个实数根的充要条件是；
（2）至少有一个实数根的一个充分不必要条件为的真子集即可，比如；
（3）至少有一个实数根的一个必要不充分条件真包含即可，比如.
【点睛】本题以含有字母参数的一元二次方程有无实数根的讨论为载体，考查了充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
16．已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx2－4x＋4＝0,
② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件.
16．.
【分析】(1)判定是的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件能否推得；二是由条件能否推得.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；（2)判断充要条件的方法：（1）定义法：直接判断若则、若则的真假；（2）等价法：利用与，
与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法；（3）利用集合间的包含关系判断：若，则是的充分条件或是的必要条件，若，则是的充要条件.
【详解】方程①有实根的充要条件是m=0,或m不等于0时解得m1.
方程②有实根的充要条件是，
解得
故m=－1或m=0或m=1.
当m=－1时，①方程无整数解.
当m=0时，②无整数解；
当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.
∴①②都有整数解的充要条件是m=1
考点：充要条件的探索.
17．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件．
17．(1){a|a＜2}
(2)证明见解析
【分析】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
【详解】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，
若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集，
当B＝∅时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意，
当B≠∅时，若B是A的真子集，则，解得1≤a＜2，
综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}，
（2）证明：充分性（若a≥2，则α⟹β）．
若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，
所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立，
必要性（若α⟹β，则a≥2）．
若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，
则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立，
综上所述：a≥2是α⟹β成立的充要条件．