高中数学人教A版 (2019)必修 第一册充要条件教学设计

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1．充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
2．条件p与结论q的关系与充分、必要条件
3．从集合角度看充分、必要条件
如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表.
题型一 充要条件的判断
[典例1] 判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
[解] (1)p：x2>0，则x>0或x0，故p是q的必要不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．
(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．
[方法技巧]
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
【对点练清】
1．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．
2．(多选)在下列四个结论中，正确的有( )
A．x2>4是x30)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
[解] 设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
因为p是q的必要不充分条件，所以BA，
故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|010))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：若p是q的充要条件，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝1－m，,10＝1＋m，))此方程组无解，所以m不存在．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
[方法技巧]
1．求参数值(范围)的一般步骤
(1)化简：化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件．
(2)转化：根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题．
(3)列式：利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件．
(4)获解：解不等式，得参数范围．
2．求参数取值范围的关键点
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，同时注意范围的临界值的取舍．
【对点练清】
一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a1
解析：选C 一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，∴Δ＝22－4a>0，且eq \f(1,a)