高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.理解充要条件的意义，并能够进行判断；
2.能够对某些命题的充要条件进行证明，提升逻辑推理和数学分析的核心素养．
3.会求命题成立的充分条件、必要条件和充要条件，并能够根据不同的条件求参数的值或取值范围；
4.理解数学定义和充要条件的关系，培养数学抽象的核心素养.

二、教学重难点
重点：对充分条件、必要条件和充要条件进行判断和证明．
难点：根据充分条件、必要条件或充要条件求参数的值或取值范围；充要条件与数学定义之间的关系．

三、教学过程
（一）创设情境
情境：水是生命的源泉，那么“地球有水”与“人类生存”之间有怎样的关系呢？
图中“开关A闭合”与“灯泡C亮”之间具有怎样的关系呢?
答：地球有水不一定能得出有人类生存，但是人类生存一定可以得出地球有水；开关A闭合则灯泡C一定亮，反过来不一定成立.
其实我过古代先哲对于“充分”与“必要”的也早有阐释，比如《墨经》有云：有之则必然，无之则未必不然；无之则必不然，有之则未必然.就是对充分、必要条件的解读.
回顾：你能回忆起上节课学习的充分、必要条件的定义吗？
设计意图：通过生活实例，引出充要条件这一课题，培养学生学习的兴趣.并回顾旧知，
（二）探究新知
任务1：探究充要条件的概念及意义.
思考：(1)△ABC中，若△ABC为直角三角形，则a2+b2=c2；
(2)△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形.
说一说，两个命题中条件p和结论q分别是什么，它们之间有什么关系？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：(1)中条件p为△ABC为直角三角形，结论q为a2+b2=c2；(2)中条件p为a2+b2=c2，结论q为△ABC为直角三角形.两个命题互为逆命题.
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到了一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
探究：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等.
答：原命题是真命题，其逆命题为“若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等”，也为真命题.
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等.
答：原命题是真命题，其其逆命题为“若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等”，为假命题.
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；
答：原命题是假命题，其逆命题为“若一元二次方程ax2+bx+c=0中ac<0，则该方程有两个不相等的实数根”，为真命题.
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
答：原命题是真命题，其逆命题为“若A与B均是空集，则A∪B是空集”，也为真命题.
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作
p⇔q.
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，则q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.
总结：
设计意图：通过具体的实例，引出充要条件的概念，强化学生对抽象概念的理解，培养学生数学抽象的核心素养.
任务2：探究命题成立的充要条件.
探究：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：①四边形的两组对角分别相等；②四边形的两组对边分别相等；③四边形的一组对边平行且相等；④四边形的对角线互相平分，都是“四边形是平行四边形”的充要条件.
另外，平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，表明“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的充要条件.
“四边形是平行四边形”的每个充要条件都从不同的角度刻画了“平行四边形”这个概念.
思考：你能此给出“平行四边形”的其他定义形式吗？
答：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
思考：你能根据“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的充要条件，分别给出“三角形全等”和“三角形相似”的定义形式吗？
答：“两个三角形全等”的充要条件：①三边对应相等，两个三角形全等；②两组对应边及夹角相等，两个三角形全等；③两组对应角及夹边相等，两个三角形全等；④两组对应角及一角所对的边对应相等，两个三角形全等.
“两个三角形相似”的充要条件：①三边对应成比例，两个三角形相似；②两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例及夹角相等，两个三角形相似.
设计意图：通过具体的例子，反映数学定义和充要条件的关系，培养数学抽象的核心素养，加深对充要条件这一抽象概念的理解.
（三）应用举例
例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平方；
（2）p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；
（3）p:xy>0，q:x>0，y>0；
（4）p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a≠0)
提示：根据充要条件的定义，即可判断.
解：（1）因为对角线互相垂直且平方的四边形不一定是正方形，所以p⇏q，所以p不是q的充要条件.
（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件.
（3）因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立，所以p⇏q，所以p不是q的充要条件.
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件.
例2 “x>3”是“x>5”的 条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)
提示：根据充分条件和必要条件的定义或充分、必要条件与集合的子集之间的关系，即可求解.
解法一：因为x>3推不出x>5，所以x>3是x>5的不充分条件．
因为x>5能推出x>3，所以x>3是x>5的必要条件．
所以x>3是x>5的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
解法二：因为{x>3}⊃{x>5}，所以x>5是x>3的充分不必要条件，
所以x>3是x>5的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分．
【总结】从集合角度看充分、必要条件：设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，则
例3 已知关于x的方程x2+(m−3)x+4=0，则下列说法正确的是( )
A. 当m=3时，方程的两个实根之和为0 B. 方程无实根的一个必要条件是m>−1
C. 方程有两个正实根的充要条件是m⩽−1 D. 方程有两个正实根的充要条件是m<0
解：当m=3时，方程为x2+4=0，无实根，所以A错误;
若方程无实根，则Δ=(m−3)2−16<0，解得−1又{m|−1−1}，所以B正确;
若方程有两个正实根，则{Δ=(m−3)2−16⩾0,−(m−3)>0,解得m⩽−1，
所以C正确，D错误．
故选BC．
【总结】：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法：
（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断.
（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即有p1⇒p2⇒⋯⇒pn，可得p1⇒pn，充要条件也有传递性.
例4 已知条件p：x−2<2x−1<2+x，条件q：(x+1)(x−a)<0(a为常数)．
(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
提示：根据充分、必要条件与集合的子集之间的关系，即可求a的取值范围.
解：(1)解不等式x−2<2x−1<2+x可得−1可得命题p：−1若p是q的充要条件，则不等式(x+1)(x−a)<0的解集为{x|−1则(3+1)·(3−a)=0，
所以a=3．
(2)若p是q的必要不充分条件，
可知集合A={x|(x+1)(x−a)<0}为集合B={x|−1当集合A为空集时，即a=−1时满足要求；
当集合A不为空集时，即a≠−1，要A为B的真子集，则−1综上，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为a|−1⩽a<3．
例5已知：⨀O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与⨀O相切的充要条件．
提示：设p：d=r，q：直线l与⨀O相切，要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）即可.
解：设p：d=r，q：直线l与⨀O相切，
(1)充分性（p⇒q）：如右图，作OP⊥l于点P，则OP=d．若d=r，则点P在⨀O上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在⨀O的外部，即直线l与⨀O仅有一个公共点P.所以直线l与⨀O相切.
(2)必要性（q⇒p）：若直线l与⨀O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，是直线l与⨀O相切的充要条件.
【总结】：充要条件证明的两个思路：
（1）直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.
（2）集合思想：记p:A={x|p(x)}，q:B={x|q(x)}，若A=B，则p与q互为充要条件.
设计意图：通过例题，熟悉充要条件的概念，增强其理解.并学会判断充分不必要条件、必要不成分条件、充要条件和既不充分也不必要条件，掌握通过不同的条件求参数的值和取值范围，提升逻辑推理和数学分析的核心素养．
（四）课堂练习
1. 设x∈R，则“x>1”是“1x<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：1x<1，即1−xx<0，故x>1或x<0，
故“x>1”是“1x<1”的充分不必要条件．
故选：A．
2. 下列各结论中正确的是( )
A.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的充分不必要条件
B.“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件
C.“2x−51−x⩾1”是“|x−32|⩽12”的充要条件
D.“二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件
解：对于选项A，当a≠0，b=0时，ab=0，
当ab≠0时a≠0且 b≠0 ，
故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故A错误；
对于选项B，当 m<0 时，
Δ=4−4m>0，
故方程x2−2x+m=0一定有两个不同的根，
设为x1，x2，
x1x2=m<0，
故方程x2−2x+m=0有一正一负根，
若关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根，
设两根为x1，x2，
则x1x2=m<0，且Δ=4−4m>0，
则“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件，
故 B正确；
对于选项 C，解不等式2x−51−x⩾1得 1解不等式|x−32|⩽12得 1⩽x⩽2 ，
故“2x−51−x⩾1”是“|x−32|⩽12”的充分不必要条件，
故C错误；
对于选项D，
若二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)，
则a+b+c=0，
若a+b+c=0，则a∙12+b∙1+c=0，
即二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)，
则“二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件，
故D正确；
故选：BD.
3. 下列说法正确的是( )
A. “x2−2x=0”是“x=2”的必要不充分条件
B. “x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件
C. 当a≠0时，“b2−4ac<0”是“方程ax2+bx+c=0有解”的充要条件
D. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
解：A：因为方程x2−2x=0的根为2或0，
所以“x2−2x=0”是“x=2”的必要不充分条件，故A正确；
B：x>2且y>3⇒x+y>5，
但是x+y>5不能推出x>2且y>3，如x=y=3，故B正确；
C：当a≠0时，“b2−4ac<0”，方程ax2+bx+c=0无实数解，故不是充要条件，故C错误，
D：若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，故D正确，
故选ABD．
4. 已知命题 p ： |1−x−13|⩽2 ，命题 q ：x2−2x+1−m2⩽0(m>0) ，若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为______.
解： p ：∵ |1−x−13|⩽2，
∴−2⩽1−x−13⩽2 ，
∴−3⩽x−1⩽9 ，∴−2⩽x⩽10 ，
设 A=[−2,10]，
q： ∵x2−2x+1−m2⩽0(m>0) ，
[x−(1−m)][x−(1+m)]⩽0(m>0)
∴1−m⩽x⩽1+m ，
设 B=[1−m,1+m] ，
∵q 是 p的必要不充分条件， ∴A⊊B，
∴1−m⩽−21+m⩾10 ， ∴m⩾9 ，
∴实数 m的取值范围为 [9,+∞).
故答案为： [9,+∞).
5. 已知m，n∈R，证明：m4−n4=2n2+1成立的充要条件是m2−n2=1．
证明：先证充分性：
已知m2−n2=1，则m4−n4=(m2+n2)(m2−n2)=m2+n2=1+n2+n2=2n2+1，
即充分性得证.
再证必要性：
已知m4−n4=2n2+1，则m4=n4+2n2+1=(n2+1)2， ​​因为m，n∈R，则m2⩾0，n2+1⩾1，
则[m2−(n2+1)][m2+(n2+1)]=0，
由于m2+(n2+1)≠0，
则m2−n2=1．
即必要性得证.
故已知m，n∈R，证明：m4−n4=2n2+1成立的充要条件是m2−n2=1．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固充要条件的概念，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
命题关系
“若p，则q”真
“若p，则q”假
推理关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
例子
若x=2，则x2=4.
(真)
若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等.(假)
条件p
结论q
p能否推出q
q能否推出p
p与q的关系
x=1
x3=1
p⇒q
q⇒p
p是q的充分必要(充要)条件
x>2
x2>4
p⇒q
q⇏p
p是q的充分不必要条件
ab=0
a=0
p⇏q
q⇒p
p是q的必要不充分条件
|a|>|b|
a>b
p⇏q
q⇏p
p是q的既不充分也不必要条件
A与B的关系
Venn图
p是q的什么条件
q是p的什么条件
A⊆B
或
p是q的充分条件
q是p的必要条件
A⊇B
或
p是q的必要条件
q是p的必要条件
A=B
p是q的充要条件
q是p的充要条件
A⫋B
p是q的充分不必要条件
q是p的必要不充分条件
A⫌B
p是q的必要不充分条件
q是p的充分不必要条件
A不是B的子集
B也不是A的子集
p是q的既不充分也不必要条件
q是p的既不充分也不必要条件