人教A版 (2019)必修 第一册对数函数一课一练

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考点一 对数函数辨析
【例1-1】下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数(且)为对数函数，所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.
【例1-2】若函数为对数函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知：函数为对数函数，所以或，又且所以故选：B
【一隅三反】
1．下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝lgxa(x>0且x≠1) B．y＝lg2x－1
C． D．y＝lg5x
【答案】D
【解析】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．故选：D.
2．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.
3．函数是对数函数，则___________.
【答案】3
【解析】由对数函数的概念可知，解得，所以，则.故答案为:3.
考点二 对数函数的三要素
【例2-1】函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得且，所以函数的定义域为；故选：C
【例2-2】函数的最小值是（ ）．
A．10B．1C．11D．
【答案】B
【解析】设，则，因为，
所以，所以的最小值为1，选：B
【例2-3】已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得，因为，所以
所以，由可得，则．故选：D．
【一隅三反】
1．已知，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】由题意可知，要使有意义，则，解得，即.
所以函数的定义域为.故答案为：.
2．函数y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
A．(2，＋∞)B．(－∞，2)
C．[4，＋∞)D．[3，＋∞)
【答案】C
【解析】令，又因为在上递增，所以，所以y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)，故选：C
3.已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若，则在上单调递减，则，不符合题意；若，则在上单调递增，则，又因为的值域为，所以，解得．故选：A．
考点三 对数函数的单调性
【例3-1】函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A
【例3-2】已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当，是减函数，所以，即……①；当，也是减函数，故……②；在衔接点x=1，必须要有成立，才能保证在上是减函数，即……③，∴由①②③取交集，得：；故选：C.
【一隅三反】
1．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得：，即定义域为；令，则在上单调递增，在上单调递减；又在上单调递减，的单调递减区间为.故选：B.
2．已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知函数在区间R上为增函数，则，解可得.故选：D.
3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由可得，解得，函数是由和复合而成，又对称轴为，开口向下，所以 在上单调递增，在上单调递减，因为为减函数，所以的单调增区间为，因为在区间内单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：．
考点四 对数函数单调性的运用
【例4】已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对数函数都是上的增函数，，于是得，，而，而，于是得：，所以有.故选：C
【一隅三反】
1．已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，，故选A.
2．已知，，，则的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
，故，所以．故选A．
3．已知，，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，， ，
是单调递增，，，，，
是单调递增，，，， ，
是单调递增，，，，，
是单调递增，，，综上所述，.故选：D
考点五 对数函数的定点
【例5】若且，则函数的图像恒过定点（ ）
A．（2，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，2）
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点.故选：D.
【一隅三反】
1．已知函数的图象过定点，则在上的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象过定点，所以，，
由于，所以，所以.故选：B
2．函数的图象恒过定点，则M为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数，令，解得，此时，所以函数恒过定点；故选：A
3．已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为（且），令，解得，所以，即函数过定点，所以，故A错误；因为、，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号.故选：D
考点六 反函数
【例6】若函数的反函数的图象过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】依题意，函数的反函数是，即函数的图象过点，则，，于是得，所以.故选：B
【一隅三反】
1．与函数的图象关于直线对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数与（且）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线对称，因此，与函数的图象关于直线对称的函数是.故选：C.
2．函数的反函数的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，令得，所以函数的反函数的表达式为，故选：B
3．函数（，且）的反函数的图象过点，则a的值为（ ）
A．2B．C．2或D．3
【答案】B
【解析】法一：函数（，且）的反函数为（，且），
故的图象过点，则．
法二：∵函数（，且）的反函数的图象过点，∴函数（，且）的图象过点，∴，即．故选：B
考点七 对数函数的图像
【例7】函数的图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.
【一隅三反】
1．在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
2．函数与的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在定义域上单调递减，又，所以在定义域上单调递减，故符合条件的只有A；故选：A
3．若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于是上的奇函数，所以，所以为减函数，所以，
所以，为上的减函数，，所以BCD选项错误，A选项正确.故选：A
考点八 对数函数的综合运用
【例8】已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）由题设，，则或，所以函数定义域为.
（2）由函数的值域为R，则是值域的子集，所以，即.
（3）由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，
所以在上递增，在上递减，
又在上是增函数，故，可得.
【一隅三反】
1．已知函数的定义域为，且的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的最大值；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)；(2)3；(3).
【解析】(1)∵的图象经过点，∴，∴，∴，∴．
(2)∵，定义域为，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在上单调递减，∴函数的最大值为．
(3)，
∵函数的定义域为，∴，解得，∴函数的定义域为，
∵对勾函数在上单调递增，而函数是增函数，∴函数在上单调递增，
∴，，∴函数的值域为．
2．设（，），且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)a=2；的定义域为.(2)在上的最大值为2.
【解析】(1)（，），且
所以，解得：a=2.
所以的定义域需满足：，解得：，
即函数的定义域为.
(2).
任取，令，则，
所以，所以在上单增；
任取，令，则，
所以，所以在上单减.
所以在上单增，在上单减.
所以在上的最大值为.
4.4 对数函数（精练）
1 对数函数的辨析
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝ln xB．y＝ln(x＋1)
C．y＝lgxeD．y＝lgxx
【答案】A
【解析】A是对数函数，B中真数是，不是，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．故选：A．
2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选：B
3．给出下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x．故答案为：（1）（2）（3）．
4．已知下列函数：
①y＝lg(－x)(x＜0)；②y＝2lg4(x－1)(x＞1)；③y＝ln x(x＞0)；④，(x＞0，a是常数)．
其中为对数函数的是________(只填序号)．
【答案】③
【解析】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数，当时，底数小于0，故④不是对数函数．
故答案为：③
5．已知对数函数，则______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义，可得，解得．故答案为．
6．若函数y＝(a2－3a＋3)lgax是对数函数，则a的值为______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义结合题意可知：，据此可得：.
2 对数函数的三要素
1．已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】法一：由题意得，解得且，∴函数的定义域为．
法二：由题意得，当时，函数无意义，排除A，C；当时，函数有意义，排除B．故选：D．
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.故选：B.
3．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得当时，所以的值域为，设时，的值域为，则由的值域为R可得，∴，解得，即．故选：D
4．已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【解析】因为函数的值域为R，所以取得一切正数，即方程有实数解，得，解得或；又函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，且在上恒成立，则，解得，综上，实数a的取值范围为或.故选：B
5．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【解析】∵函数的定义域是R，∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；当x＜0时，则a＜，∵x＜0，∴，则＞1，则＞1，可得a≤1．综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
6．函数的值域是________.
【答案】
【解析】令，则，因为，所以的值域为，因为在是减函数，所以，所以的值域为，故答案为：
7．函数的值域是________．
【答案】
【解析】，而在定义域上递减，，无最小值，函数的值域为．故答案为：.
8．已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】①当时，，此时定义域为，不合题意；
②当时，令，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
③当时，令，其对称轴为；
⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，
，即，解得：；
⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得：（舍）；
综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.
9．函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题可知，函数的值域为，令，由题意可知为函数的值域的子集.
①当时，，此时，函数的值域为，合乎题意；
②当时，若为函数的值域的子集，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是．故答案为：．
3 对数函数的单调性
1．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知的定义域为，令，则，函数单调递增，当时，关于单调递减，关于单调递减，当时，关于单调递增，关于单调递增，故的递增区间为．故选：D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，而对数函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数单调递增区间为．故选：C
3.函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【解析】D
【解析】对于函数，有，解得或，故函数的定义域为，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.
4.已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】函数是由与复合而成，①当时，因为为减函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，结合的图像可得，解得②当时，因为为增函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，又因为此时，结合的图像可知此时符合题意综上所述：实数a的取值范围为或.故选：C
5．已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，则，因为，所以递减，由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，所以，即．综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
4 对数函数单调性的运用
1．若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】,,,故，故选：B
2．已知函数，设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】可知在上单调递增，上单调递减，且图像关于对称
，而可得故选：A
3．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，，故.故选：A
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以故选：A
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，所以．故选：．
5 对数函数的定点
1．函数（，且）恒过定点（3，2），则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】由题意，函数，当时，即时，可得，即函数恒经过点，又因为恒经过点，可得，解得，所以.故选：C.
2．函数(且)的图象恒过定点_________
【答案】
【解析】因为函数(且)，令，解得，所以，即函数恒过点；故答案为：
3．已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 __________．
【答案】
【解析】因为，所以，设幂函数，因为幂函数 的图象经过，
所以，因此，故答案为：
4．函数（且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则__________．
【答案】
【解析】对于函数，令，解得，此时，因此函数的图象恒过定点,设幂函数，在幂函数的图象上，，解得．．
故答案为：
5．函数的图象一定过定点__________.
【答案】
【解析】令，则所以所以过定点
故答案为：
6．已知函数（，且），则函数恒过定点______．
【答案】
【解析】由题意，函数（且），令，即时，，
所以函数恒过定点.故答案为：.
7.函数（且）恒过定点，则______．
【答案】
【解析】由题意，函数恒过定点，可得，解得，所以.故答案为：.
8．已知函数（且）的图象过定点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】令，得，又 ．因此，定点的坐标为．
故答案为：
6 反函数
1．若函数的反函数为，则____________.
【答案】
【解析】由，则其反函数的解析式为，故.
故答案为：
2．函数的反函数为___________
【答案】
【解析】由，可得由，则，所以
故答案为：.
3．函数（）的反函数是___________.
【答案】f−1(x)=−2x−1x≥0
【解析】由可得，即，因为，所以，
交换和可得，因为，所以其反函数的定义域为，
所以函数（）的反函数是，
故答案为：.
7 对数函数的图像
1．当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.故选：B
2．函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数为上的减函数，排除AB选项，函数的定义域为，内层函数为减函数，外层函数为增函数，故函数为上的减函数，排除D选项.
故选：C.
3．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，的定义域为，
，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除CD选项.，排除B选项.所以A选项正确.故选：A
4．函数与函数且的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)，当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递减，没有符合的选项；当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递增，符合的选项为B.故选：B.
5．已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1
【答案】D
【解析】由图可知，的图象是由的图象向左平移 c 个单位而得到的，其中，
由题可知函数单调递减，故．故选：D．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
故选：．
8 对数函数的综合运用
1．（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．定义域为（－1，4）B．最大值为2
C．最小值为－2D．单调递增区间为
【答案】ACD
【解析】令，得，即函数的定义域为，故A正确；
∵，∴，∴，故B错误，C正确；令，则其在，上单调递增，在上单调递减，又在（0，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性得的单调递增区间为，故D正确．故选：ACD．
2．（多选）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A，当时，，令，解得或，则的定义域为，故A正确；
对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；
对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，，
则，解得，故D错误．故选：AC．
3．关于函数，其中，有如下说法，其中正确的是（ ）
A．当时，函数有最大值
B．当时，函数的定义域为R
C．当时，函数的值域为R
D．当时，函数在上单调递增
【答案】ABC
【解析】A. 当时，函数，因为，则，所以有最大值，故正确；
B.若函数的定义域为R，则，对恒成立，则，解得，故正确；
C. 令，当时，，所以取遍上所有的数，所以函数的值域为R，故正确；
D.，若函数在上单调递增，则，解得 ，故错误；故选：ABC
4．关于函数有以下4个结论：
①该函数是偶函数；
②定义域为；
③递增区间为；
④最小值为；
其中正确结论的序号是____．
【答案】③④
【解析】函数的定义域为，故②错误；
，故不是偶函数，故①错误；
令，则，由的单调递增区间为；为增函数，故函数的递增区间为，故③正确；当时函数取最小值为，故④正确；
故正确结论的序号是：③④．故答案为：③④
5．已知函数.
(1)求的定义域和值域：
(2)判断的奇偶性，并说明理由：
(3)求的单调区间.
【答案】(1)定义域为(-2,2)，值域为；(2)偶函数，理由见解析；(3)单调增区间为(-2,0)，减区间为(0,2).
【解析】(1)由，解得，所以的定义域为；
，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且为增函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即的值域为；
(2)由(1)知，的定义域为，关于原点对称，
∵，∴为偶函数；
(3)由(1)知，的定义域为，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且为增函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即的单调增区间为，减区间为.