人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优秀测试题

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一．对数函数的概念
1.概念：一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
2.概念理解
(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1.
(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝lgax(a>0，且a≠1)中，lgax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.
二．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质
对数函数图像
两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.

四.反函数
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.
对数函数的判断
1.系数：对数符号前面的系数为1
2.底数：对数的底数大于0且不等于1
3.真数：对数的真数仅有自变量x
二．定义域
1.分母不能为0；
2.根指数为偶数时，被开方数非负；
3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
三．比较对数值大小
1.同底数的利用对数函数的单调性.
2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
3.底数和真数都不同，找中间量.
4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
四.y＝lgaf(x)型函数性质
1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
2.值域：在函数y＝lgaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝lgat的单调性确定函数的值域.
3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝lgat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)
4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝lgat的单调性，最后确定最值.
6.lgaf(x)(1)讨论a与1的关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.
7.两类对数不等式的解法
(1)形如lgaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如lgaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为0考点一 对数函数的概念
【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（ ）
A．B．
C．D．（是常数）
【答案】CD
【解析】对于A，真数是，故A不是对数函数；
对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数；
对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数；
对于D，底数，真数是，故D是对数函数．
故选：CD
【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2B．1
C．2D．且
【答案】C
【解析】∵函数是对数函数，
∴，且，
解得或，∴，
故选：C．
【一隅三反】
1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，
对于A，满足，故A正确；
对于B，C，D，形式均不正确，均错误.
故选：A
2．（2023秋·高一课前预习）在中，实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】要使式子有意义，
则，解得或.故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数中，实数的取值可能是（ ）
A．B．3
C．4D．5
【答案】AC
【解析】因为，所以根据对数函数的定义得：，
即：，所以或，故选：AC.
考点二 对数函数的定义域
【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得： ，解得，定义域为.故选：A.
【例2-2】（2023秋·辽宁 ）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】已知函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，
又，且，解得，且，所以定义域为.故答案为：.
【例2-3】（2023秋·江苏连云港· ）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(-2,2)
【解析】由题意得在R上恒成立，所以，解得.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2023秋·高一课时练习）函数 的定义域是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
【解析】由题意得，∴或，故定义域为或，故选：D.
2．（2023秋·宁夏银川 ）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，解得.
故选：D
3．（2023春·浙江温州 ）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，解得且，
所以的定义域为.故选：D.
考点三 对数函数图像的辨析
【例3-1】（2023·云南保山）函数与（其中）的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；
对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；
对于C，时，为上增函数，图象错误；
对于D，时，为上增函数，图象错误；
故选：B
【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，
在上单调递减，且过第一，第四象限，
图像向左平移个单位，得到，
故函数的图象不经过第一象限，
故选：．
【例3-3】（2023秋·高一课时练习）若函数且的图象恒过定点，则实数 ， ．
【答案】 －2 2
【解析】】∵函数的图象恒过定点，
∴将代入，
得．
又当，且时，恒成立，
，．
故答案为：；
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】B
【解析】因为，
（3）是，（4）是，又与关于轴对称，
（1）是．
故选：B．
2．（2023·广西）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】若，则函数的图象单调递减且过点，
函数的图象单调递减且过点；
若，则函数的图象单调递增且过点，
而函数的图象单调递增且过点，
只有A,C的图象符合．
故选：AC
4．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数（，且）的图象恒过点 ．
【答案】
【解析】令，解得，此时，
故（，且）的图象恒过点.
故答案为：
考点四 比较对数值的大小
【例4-1】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组中两个值的大小．
①.②.③.④且.
【答案】答案见解析
【解析】①因为在上是增函数，且，则，所以
②作出和的图象如下图．

由图象知.
③因为，
,所以.
④当时，函数在定义域上是增函数，则有；
当时，函数在定义域上是减函数，则有.
综上所述，当时，；
当时，.
【例4-2】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）三个实数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由于，，
故，故选：B
【一隅三反】
1．（2023秋·重庆 ）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以．故选：D
2．（2023秋·湖北武汉 ）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由在上单调递减可知，，
即；
由对数函数在上单调递增可知，，即；
又可知，即；
所以可得.
故选：A
3．（2023秋·广西南宁 ）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，
因为在定义域上是增函数，且，故.
故选：C.
4．（2023秋·宁夏银川）函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】】因为函数是定义在上的偶函数，
可得，，
由对数的运算性质，可得，，
又由，所以，
又因为在上单调递增，所以，即.
故选：D.
考点五 对数型函数的单调性及应用
【例5-1】（2023春·甘肃武威）函数的递减区间为 .
【答案】
【解析】因为在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间，
且要满足，解得或，
其中在上单调递增，
故的递减区间为.
故答案为：
【例5-2】（2023·河南）设函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函数，得，
即函数的定义域为，
令，
由函数的对称轴为：，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以当函数在上单调递增时，
所以根据复合函数的单调性可知：，
解得，
故选：D.
【一隅三反】
1.（2023福建）求函数单调(1－eq \r(2)，1)减区间 .
【答案】(1－eq \r(2)，1)
【解析】函数的定义域为－x2＋2x＋1>0，
由二次函数的图象知1－eq \r(2)∴t＝－x2＋2x＋1在(1－eq \r(2)，1)上是增加的，而在(1，1＋eq \r(2))上是减少的，而y＝为减函数.
∴函数的减区间为(1－eq \r(2)，1).
2.（2023安徽）已知函数在区间(－∞，eq \r(2))上是增函数，求实数a的取值范围 .
【答案】[2eq \r(2)，2(eq \r(2)＋1)
【解析】令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,2)))上是减函数，∵0∴只要g(x)在(－∞，eq \r(2))上是减少的，且g(x)>0在x∈(－∞，eq \r(2))恒成立，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(2)≤\f(a,2)，,g（\r(2)）＝（\r(2)）2－\r(2)a＋a≥0，))
∴2eq \r(2)≤a≤2(eq \r(2)＋1)，故所求a的取值范围是[2eq \r(2)，2(eq \r(2)＋1)].
3．（2023秋·江苏南通）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是
【答案】
【解析】在单调递增，故在单调递减，则，
又∵在恒成立，则，故，∴，
考点六 解对数不等式
【例6-1】（2023秋·高一课时练习）已知函数，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题设，即，
因为函数在上单调递增，所以，解得.
故选：B
【例6-2】（2023秋·高一课时练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为，可得对数函数为单调递增函数，
则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：.
【例6-3】（2023秋·陕西渭南 ）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 .
【答案】或.
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，
所以在上递增，
因为是定义在上的偶函数，
所以由，得，
所以，
所以或，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
【一隅三反】
1．（2023秋·高一课时练习）不等式的解集是 .
【答案】
【解析】易知，
由可得；
又函数在为单调递减，
所以可得，解得.
故答案为：
2．（2023秋·高一课时练习）解下列关于x的不等式．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）由题意可得
解得，
所以原不等式的解集为．
（2）当时，原不等式等价于，
解得，
当时，原不等式等价于
解得
综上所述，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（3）当时，由，可得，此时无解；
当时，由，可得．
综上，原不等式的解集为.
考点七 对数型函数的值域（最值）
【例7-1】（2023秋·高一课时练习）函数在区间上的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在上是减函数，，即值域为.故选：A.
【例7-2】．（2023·高一校考课时练习）求函数的值域.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为：，
而方程的，
所以对恒成立，
令：
在上是减函数，
所以，即原函数的值域为
故答案为：
【例7-3】（2023秋·江苏南通 ）已知函数，在上的值域为（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，，令，则.
所以原函数转化为,又对称轴为，
所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为，
所以所求函数的值域为，
故选：A．
【例7-4】（2023春·重庆北碚 ）已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，a不等于0时，,
当得，
二次函数没有最大值，有最小值，
没有最大值，有最小值，不合题意.
当得，，二次函数没有最大值，有最小值，
,没有最大值，没有最小值，
当得，二次函数有最大值，没有最小值，
,有最大值，没有最小值，不合题意.
当无解.
当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023秋·高一课时练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由知，，值域是．故选：C
2．（2023·全国·高一假期作业）函数的值域是 ．
【答案】
【解析】令，则，
因为，
所以的值域为，
因为在是减函数，
所以，
所以的值域为，
故答案为：
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，设，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意得，则，即的定义域为，
故，
令，则，
函数在上单调递增，故，
故函数的值域为，
故答案为：
4．（2023·全国·高一假期作业）函数的最小值为 ．
【答案】/
【解析】显然，∴
，
令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则，
当且仅当t＝－即x＝时，有.
故答案为：
5．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是
【答案】
【解析】由于函数且的值域是，
故当时，满足.
若在它的定义域上单调递增，
当时，由，.
若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是.综上可得，.
考点八 对数函数性质的综合运用
【例8】（2023秋·山西长治）已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)讨论函数的值域．
【答案】(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3)答案见解析
【解析】（1）且，得，即定义域为.
（2）因为定义域关于原点对称，且，
所以函数为偶函数.
（3），
令，由，得，
则，，
当时，，所以原函数的值域为；
当时，，所以原函数的值域为.
【一隅三反】
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
【答案】（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【解析】（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．
2（2023·湖北随州）已知函数(，且).
（1）求的定义域.
（2）是否存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.
（1）由题意可得，即，
因为，所以解得.
故的定义域为.
（2）假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2.
设函数，由，得，
所以在区间上为减函数且恒成立，
因为在区间上单调递减，
所以且，即.
又因为在区间上的最大值为2，
所以，
整理得，解得.
因为，所以，
所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2.
3．（2023江苏淮安 ）已知是定义在R上的奇函数，其中．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若对于任意的都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）.
【解析】（1）
，
得，，；
（2），
设，设，



，
单调递增，根据复合函数的单调性可知单调递增；
（3），
，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在单调递增，所以函数在上单调递增，
，
当时，恒成立，即，
因为，则，
当时，恒成立，即，因为
，则，
当时，，
综上可知，对恒成立，即.a>1
0图象
性
质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值
的变化
当0当x>1时，y>0
当00，
当x>1时，y<0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数