数学必修 第一册二次函数与一元二次方程、不等式综合训练题

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考点一 常见不等式的解法
【例1】求不等式的解集：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)或；(2)；(3)或；(4).
【解析】（1）由，得，解得或，故不等式的解集为或；
(2)由得，，故不等式的解集为；
(3)由可得，，解得或，故不等式的解集为或；
(4)由，可得，∴，解得，故不等式的解集为.
【一隅三反】
解下列不等式：
(1) ； (2) .(3)； (4)．
(5) ； (6) ；(7)；(8).
【答案】(1)(2)(3)；(4)
.(5)或(6)(7)(8)
【解析】(1)由题，即，解得或，即；
(2)由题，解得或，即
(3)不等式化为：，解得，所以的解集为.
(4)，原不等式化为：，解得：，
所以的解集是.
(5)因为，所以方程有两个不等实根 ，.
又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为或
(6)因为，
所以方程有两个不等实根，即，.
又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为．
(7)可得，∴∴该不等式解集为；
(8)原不等式，∴，∴该不等式解集为；
考点二 三个一元二次的关系
【例2-1】已知不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由不等式的解集知：和是方程的两根，.故选：A.
【例2-2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】关于x的不等式的解集为
，且和1是方程的两个根，则，，
关于x的不等式，即，，解得，
故不等式的解集为，故选：A
【一隅三反】
1．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10B．-14C．10D．14
【答案】B
【解析】由题意，和是方程的两个根，由韦达定理得：且，解得：，，所以.故选：B
2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式的解集是，所以方程的解是和，且，
则，解得，，所以不等式化为，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故选：A．
3．（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为或
【答案】ABC
【解析】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知，A正确；
的根为，则，即∴，B正确；
，C正确；，即，则，解得
∴的解集为，D错误；故选：ABC．
考点三 一元二次根的相关问题
【例3-1】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________.
【答案】
【解析】首先，设方程的两根为，则，
所以，又，解得．故答案为：．
【例3-2】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令
由题可知：则，即故选：C
【例3-3】已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，，且，
所以，当且仅当时等号成立.故选：C
【例3-4】关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为故选：D
【一隅三反】
1．已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【解析】因为函数（b，c为实数），，所以，
解得，所以，因为方程有两个正实数根，，所以，解得，所以，当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B
2．已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，解得或，设两个为，，由两根为正根可得，解得，综上知，.故两个根的倒数和为，
，，，故，，故两个根的倒数和的最小值是.故选：B
3．若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，设，根据二次函数的性质，可得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.
4．已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－