人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式第1课时导学案及答案

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[课时目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
逐点清(一) 两条直线的交点坐标
[多维理解]
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组 的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标.
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若点A(1,-1)在直线Ax+By=0上,则A=B.( )
(2)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( )
(3)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( )
(4)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点为(a,b),则a-b=4.( )
2.直线x-2y-6=0与直线2x+y-2=0的交点坐标为( )
A.(0,-3)B.(1,0)
C.(3,-4)D.(2,-2)
3.已知三条直线x+y=5,3x+y=7,ax+2y=6相交于两点A,B.若A(2,1),则a=( )
A.1B.2
C.3D.4
4.已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是 .
逐点清(二) 两条直线的位置关系的判断
[多维理解]
方程组解的个数与两条直线的位置关系
|微|点|助|解|
(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.
(2)两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0.
[微点练明]
1.若关于x,y的方程组2x+y=1,x+my=1无解,则m=( )
A.12B.-12
C.2D.-2
2.已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:y-2=0,l3:mx+y=0将平面分为六个部分,则满足条件的m的值共有( )
A.1个B.2个
C.3个D.无数个
3.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出交点坐标.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
逐点清(三) 过两条直线交点的直线系方程
过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
[典例] 已知两条直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交点为P.求:
(1)过点P与Q(1,4)的直线方程;
(2)过点P且与直线x-3y-1=0垂直的直线方程.
听课记录:
|思|维|建|模| 求过两条直线交点的直线方程的方法
[针对训练]
1.无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为( )
A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1)
2.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A.x+y+1=0
B.x-y+1=0
C.x+y+1=0或3x+4y=0
D.x-y+1=0或x+y+1=0
课下请完成课时检测(十九)
2．3 直线的交点坐标与距离公式
第1课时 两条直线的交点坐标
[逐点清(一)]
[多维理解] eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0)) 交点
[微点练明]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．D 3.B 4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))
[逐点清(二)]
[多维理解] 无解 无数个 相交 平行
[微点练明]
1．选A 由题意知，直线2x＋y＝1与直线x＋my＝1平行，故2m－1＝0，解得m＝eq \f(1,2).
2．选C 因为三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：y－2＝0，l3：mx＋y＝0将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，当三条直线交于一点时，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋2＝0，,y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))此时2m＋2＝0，即m＝－1，当两条平行线与第三条直线相交时，可得l1∥l3或l2∥l3，所以m＝－eq \f(1,2)或m＝0.综上，m＝－1或m＝－eq \f(1,2)或m＝0.故选C.
3．解：(1)联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－6y＋4＝0①，,4x－12y＋8＝0②，))①×2得4x－12y＋8＝0.①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，直线l1与l2重合．
(3)联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋2y＋4＝0，,y＝－2x＋3))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
[逐点清(三)]
[典例] 解：设过直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0，
即(m＋1)x＋(2－2m)y＋2m－6＝0①.
(1)把点Q(1,4)代入方程①，化简得3－5m＝0，解得m＝eq \f(3,5).所以过两直线交点P与Q的直线方程为eq \f(8,5)x＋eq \f(4,5)y－eq \f(24,5)＝0，即2x＋y－6＝0.
(2)由直线①与直线x－3y－1＝0垂直，得m＋1－3(2－2m)＝0，解得m＝eq \f(5,7)，所以所求直线的方程为eq \f(12,7)x＋eq \f(4,7)y－eq \f(32,7)＝0，即3x＋y－8＝0.
[针对训练]
1．选D 直线方程可化为2x＋y－5＋k(x－y－4)＝0，则此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))因此所求定点为(3，－1)．
2．选C 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0，令x＝0，得y＝eq \f(7λ－6,2＋5λ)，令y＝0，得x＝eq \f(7λ－6,3＋2λ).由eq \f(7λ－6,2＋5λ)＝eq \f(7λ－6,3＋2λ)，得λ＝eq \f(1,3)或λ＝eq \f(6,7).所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解
一组
无数组
直线l1与l2的公共点的个数
一个
零个
直线l1与l2的位置关系
重合
方程组法
一般是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件求出直线方程
直线系法
先设出过两直线交点的直线系方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程