高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式第3课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式第3课时学案设计，共6页。
1.进一步掌握距离公式的应用,初步掌握用坐标法(解析法)研究几何问题.
2.能根据点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式解决相关问题.
题型(一) 坐标法及应用
[例1] 已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.
听课记录:
|思|维|建|模|
用坐标法解题时,虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立,但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分,因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.
[针对训练]
1.建立适当的平面直角坐标系,证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
题型(二) 与平面图形有关的距离问题
[例2] 已知▱ABCD,A(1,2),B(2,4),C12,5,求:
(1)点D的坐标及点A到直线CD的距离;
(2)平行四边形ABCD的面积.
听课记录:
|思|维|建|模|
与三角形、四边形有关的问题要在坐标法解题的大背景下,善于发现、利用几何特征,并借助直线方程、距离公式进行解决.
[针对训练]
2.如图,已知▱ABCD的面积为8,A为原点,点B的坐标为(2,-1),点C,D在第一象限.
(1)求直线CD的方程;
(2)若|BC|=13,求点D的横坐标.
题型(三) 平行直线间的距离的最值问题
[例3] 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时,两条直线的方程.
听课记录:
|思|维|建|模|
应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义,将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决.
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围.
[针对训练]
3.设两条平行直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0.已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,
且0≤c≤18,则这两条平行直线之间的距离的最大值为 .
课下请完成课时检测(二十一)
第3课时 距离公式的综合应用
[题型(一)]
[例1] 证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝eq \r(b－02＋c－02)＝eq \r(b2＋c2)，|BD|＝eq \r(a－b－a2＋c－02)＝eq \r(b2＋c2).
故|AC|＝|BD|.
[针对训练]
1．证明：设△ABC是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴，过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则C(－a,0)．直线AB的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.直线BC的方程为eq \f(x,－a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－ay＋ab＝0.
设底边AC上任意一点为P(t,0)(－a≤t≤a)，
则点P到直线AB的距离为|PE|＝eq \f(|bt－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(ba－t,\r(a2＋b2))，点P到直线BC的距离为|PF|＝eq \f(|bt＋ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(ba＋t,\r(a2＋b2))，
点A到直线BC的距离为h＝eq \f(|ba＋ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2)).所以|PE|＋|PF|＝eq \f(ba－t,\r(a2＋b2))＋eq \f(ba＋t,\r(a2＋b2))＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝h.
因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)设点D(x0，y0)，则线段BD的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)＋1，\f(y0,2)＋2))，依题意，线段AC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(7,2)))，由平行四边形性质知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)＋1＝\f(3,4)，,\f(y0,2)＋2＝\f(7,2)，))解得x0＝－eq \f(1,2)，y0＝3，所以点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3)).直线CD的斜率k＝eq \f(5－3,\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝2，直线CD的方程为y－5＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即2x－y＋4＝0，所以点A(1，2)到直线CD的距离d＝eq \f(|2×1－2＋4|,\r(22＋－12))＝eq \f(4\r(5),5).
(2)由(1)知，线段CD的长|CD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,2)))2＋3－52)＝eq \r(5)，所以平行四边形ABCD的面积S＝|CD|·d＝eq \r(5)×eq \f(4\r(5),5)＝4.
[针对训练]
2．解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，所以kCD＝kAB＝－eq \f(1,2).
设直线CD的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋m(m>0)，
即x＋2y－2m＝0.
因为▱ABCD的面积为8，|AB|＝eq \r(5)，
所以AB与CD的距离为eq \f(8\r(5),5).易知直线AB的方程为x＋2y＝0，于是eq \f(|2m|,\r(12＋22))＝eq \f(8\r(5),5)，解得m＝±4.又m>0，所以m＝4，故直线CD的方程为x＋2y－8＝0.
(2)设点D的坐标为(a，b)．
因为|BC|＝eq \r(13)，所以|AD|＝eq \r(13).
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2b－8＝0，,\r(a2＋b2)＝\r(13)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(6,5)，,b＝\f(17,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3.))
故点D的横坐标为eq \f(6,5)或2.
[题型(三)]
[例3]
解：(1)如图，显然有0