人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程学案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程学案设计，共8页。
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
2.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化
从以上表格中可以看出,若直线的一般式方程为Ax+By+C=0(AB≠0),则其斜率为-AB,在x轴上的截距为-CA,在y轴上的截距为-CB.
|微|点|助|解|
(1)方程中等号的左侧从左向右一般按x,y,常数项的先后顺序排列,x的系数一般不为分数和负数;
(2)当A≠0,B=0时,直线与x轴垂直,即直线与y轴平行或重合;
(3)当A=0,B≠0时,直线与y轴垂直,即直线与x轴平行或重合.
3.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
4.利用一般式解决直线的平行与垂直问题
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式.( )
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( )
(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线.( )
(4)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线.( )
2.直线x+3y+1=0的倾斜角为( )
A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3
3.若直线x+2y-1=0与mx-2y+2=0平行,则实数m的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.2
4.若直线4x+2y-1=0与直线ax+4y=0垂直,则a等于( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
题型(一) 求直线的一般式方程
[例1] 根据下列各条件分别写出直线的方程,并化成一般式.
(1)斜率是-12,且经过点A(8,-6);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是32和-3;
(3)经过点(3,-5),且一个方向向量为a=(2,4).
听课记录:
|思|维|建|模|
求直线一般式方程的策略
(1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不同时为0.
(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程,注意斜截式、截距式方程的适用条件.
(3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断.
[针对训练]
1.根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.
(1)经过点A(8,-2),斜率是-12;
(2)经过点B(4,2),平行于x轴;
(3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4).
题型(二) 利用一般式解决直线的平行与垂直问题
[例2] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的一般式方程,l'满足:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
听课记录:
|思|维|建|模|
求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程.
(2)待定系数法:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;过点(x0,y0)且与已知直线平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2,过点(x0,y0)且与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0.
[针对训练]
2.(多选)已知直线l1:x+(a-1)y+1=0,直线l2:ax+2y+2=0,则下列结论正确的是( )
A.l1在x轴上的截距为-1
B.l2过点(0,-1)且可能垂直于x轴
C.若l1∥l2,则a=-1或a=2
D.若l1⊥l2,则a=23
3.经过点(1,1),且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程是 .
题型(三) 直线的一般式方程的应用
[例3] 已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点.
(1)证明:直线l过定点;
(2)已知点P(-1,-2),当PA·PB最小时,求实数m的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
含参直线方程的研究策略
(1)明确各种形式方程的系数的几何意义.如点斜式中的斜率k和定点(x0,y0),斜截式中的斜率k和y轴上的截距b,两点式中的两点坐标,截距式中x轴和y轴上的截距a,b.
(2)对已知方程进行必要的转化.
[针对训练]
4.已知直线l:ax+(1-2a)y+1-a=0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时,求实数a的值;
(2)当直线l不通过第四象限时,求实数a的取值范围.
课下请完成课时检测(十八)
2．2．3 直线的一般式方程
课前预知教材
1．Ax＋By＋C＝0
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)× 2.B 3.B 4.B
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)根据点斜式可得直线方程为y＋6＝－eq \f(1,2)(x－8)，化简可得x＋2y＋4＝0.
(2)根据截距式可得直线方程为eq \f(x,\f(3,2))＋eq \f(y,－3)＝1，化简可得2x－y－3＝0.
(3)由直线的方向向量为a＝(2,4)，可得直线的斜率k＝2，所以所求直线方程为y＋5＝2(x－3)，即2x－y－11＝0.
[针对训练]
1．解：(1)由点斜式写出直线方程y＝－eq \f(1,2)(x－8)－2＝－eq \f(1,2)x＋2，其一般式为x＋2y－4＝0.
(2)由点斜式写出直线方程y＝0×(x－4)＋2＝2，其一般式为y－2＝0.
(3)由两点式写出直线方程eq \f(y－－2,－4－－2)＝eq \f(x－3,5－3)⇔eq \f(y＋2,－2)＝eq \f(x－3,2)，其一般式为x＋y－1＝0.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)法一 由题意l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，则l的斜率为－eq \f(3,4).
由l′与l平行，得l′的斜率为－eq \f(3,4)，又l′过点(－1，3)，由点斜式知直线l′的方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0，将点(－1,3)代入上式得m＝－9，所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)法一 由题意l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，则l的斜率为－eq \f(3,4).
由l′与l垂直，得l′的斜率为eq \f(4,3)，
又l′过点(－1,3)，由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
法二 由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0，将点(－1,3)代入上式得n＝13，所以直线l′的方程为4x－3y＋13＝0.
[针对训练]
2．选AD 对于A，因为直线l1：x＋(a－1)y＋1＝0，令y＝0，解得x＝－1，所以l1在x轴上的截距为－1，故A正确；对于B，因为直线l2：ax＋2y＋2＝0的斜率k＝－eq \f(a,2)，即斜率存在，直线l2不与x轴垂直，故B错误；对于C，若a＝2，则直线l1，l2均为x＋y＋1＝0，即两直线重合，不平行，故C错误；对于D，若l1⊥l2，则a＋2(a－1)＝0，解得a＝eq \f(2,3)，故D正确．故选AD.
3．解析：设所求直线方程为2x＋3y＋m＝0，代入点(1,1)，得m＝－5，故所求直线方程为2x＋3y－5＝0.
答案：2x＋3y－5＝0
[题型(三)]
[例3] 解：(1)证明：已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，则(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,2x－y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))即直线l过定点(2,1)．
(2)设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，a>0，b>0，则A(a,0)，B(0，b)，又直线l过定点(2,1)，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.又点P(－1，－2)，则eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(PB,\s\up6(―→))＝(a＋1,2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＋5＝9＋eq \f(4b,a)＋eq \f(a,b)≥9＋2eq \r(\f(4b,a)×\f(a,b))＝13，当且仅当eq \f(4b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝4，b＝2时取等号，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4,0)，即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－eq \f(5,4).
[针对训练]
4．解：(1)由条件知，a≠0且a≠eq \f(1,2)，
在直线l的方程中，令y＝0得x＝eq \f(a－1,a)，
令x＝0得y＝eq \f(a－1,1－2a)，
∴eq \f(a－1,a)＝eq \f(a－1,1－2a)×3，解得a＝1或a＝eq \f(1,5)，
经检验，a＝1，a＝eq \f(1,5)均符合要求，
故实数a的值为1或eq \f(1,5).
(2)当a＝eq \f(1,2)时，直线l的方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)＝0.
即x＝－1，此时直线l不通过第四象限；
当a≠eq \f(1,2)时，直线l的方程为y＝eq \f(－a,1－2a)x＋eq \f(a－1,1－2a).直线l不通过第四象限，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－a,1－2a)≥0，,\f(a－1,1－2a)≥0，))
解得eq \f(1,2)