高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程学案，共8页。
1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程.
2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
1.直线的两点式方程
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线的方程为 .我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式.
|微|点|助|解|
(1)当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示.
(2)在记忆和使用两点式直线方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标.
(3)把直线的两点式方程化为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),则该方程表示过平面内任意不同两点(x1,y1),(x2,y2)的直线.
2.直线的截距式方程
我们把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在 ,此时直线l在y轴上的截距是 .方程xa+yb=1由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程xa+yb=1叫做直线的截距式方程,简称截距式.
|微|点|助|解|
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程.
(2)截距式方程应用的前提是截距存在且不为0,即与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.
(3)截距式中a≠0,b≠0,但截距可以为0,因此在解决截距相等的问题时,要注意截距为0的情况.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( )
(2)方程y−y1y2−y1=x−x1x2−x1和方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)适用的范围相同.( )
(3)过点(1,3)和(1,5)的直线也可以用两点式方程来表示.( )
2.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式方程为( )
A.y−22=x+37B.y−2−2=x−37
C.y+22=x−37D.y−2x+3=27
3.在x轴、y轴上的截距分别是-2,3的直线方程为( )
A.x2+y3=1B.x2-y3=1
C.y3-x2=1D.x2+y3=-1
4.直线x4-y2=1在y轴上的截距为( )
A.-4B.-2
C.2D.4
题型(一) 直线的两点式方程
[例1] 已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(2,0),C(4,4).
(1)求AB边所在直线的方程;
(2)求BC边上中线所在直线的方程.
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件不变,求AB边上的中垂线的方程.
|思|维|建|模|
已知两点求直线方程的方法思路
已知直线上两点的坐标求直线方程时,若满足两点式方程的适用条件,可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程,化简即得.代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数,需注意对参数的讨论.在斜率存在的情况下,也可以选用斜率公式求出斜率,再用点斜式求方程.
[针对训练]
1.已知点A(3,4),B(-1,3),直线l:y=kx+3与直线AB垂直,则实数k=( )
A.-14B.14
C.4D.-4
2.(多选)已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列在直线l上的点是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(2,1)
题型(二) 直线的截距式方程
[例2] 求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例中点A的坐标改为“A(-3,-4)”,其他条件不变,又如何求解?
2.若本例中“截距互为相反数”变为“截距相等”呢?
|思|维|建|模|
求直线的截距式方程的方法思路
(1)由已知条件确定横、纵截距.
(2)若两截距为零,则直线过原点,直接写出方程即可;若两截距不为零,则代入公式xa+yb=1,可得所求的直线方程.
[提醒] 如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件,采用截距式求直线方程时一定要考虑“零截距”的情况.
[针对训练]
3.若直线l过点B(4,-3),且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍,则该直线的斜率是( )
A.-43B.-12
C.34或-12D.-34或-12
4.(多选)过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( )
A.x+y-3=0B.x+y+3=0
C.x-y-1=0D.x-2y=0
题型(三) 直线方程的综合应用
[例3] 过点P(1,1)作直线l,与两坐标轴相交所得三角形面积为4,则直线l有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
听课记录:
|思|维|建|模|
直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点,记为(a,0),(0,b)),用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便,直线与坐标轴围成的三角形的面积S=12|a||b|.
[针对训练]
5.已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,
求△AOB面积的最小值.
课下请完成课时检测(十七)
2．2．2 直线的两点式方程
课前预知教材
1.eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) 2.x轴上的截距 b
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)× 2.A 3.C 4.B
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)因为A(1,1)，B(2,0)，由直线的两点式方程，可得AB边所在直线的方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－2,1－2)，化简可得x＋y－2＝0.
(2)由B(2,0)，C(4,4)，则BC的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋4,2)，\f(0＋4,2)))，即D(3,2)，则BC边上中线AD所在直线的方程为eq \f(y－2,1－2)＝eq \f(x－3,1－3)，化简可得x－2y＋1＝0.
[变式拓展]
解：由本例(1)知AB边上的中垂线的斜率为1，因为线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))，所以由点斜式方程，得AB边上的中垂线的方程为y－eq \f(1,2)＝x－eq \f(3,2)，即x－y－1＝0.
[针对训练]
1．选D 直线AB的方程为eq \f(y－3,4－3)＝eq \f(x＋1,3＋1)，即y＝eq \f(x,4)＋eq \f(13,4)，因为直线l：y＝kx＋3与直线AB垂直，所以eq \f(1,4)k＝－1，解得k＝－4.
2．选ABC 由直线的两点式方程，得直线l的方程为eq \f(y－－2,2－－2)＝eq \f(x－－3,1－－3)，即x－y＋1＝0，将各个选项中的坐标代入直线l的方程，可知点(－2，－1)，(－1,0)，(0,1)都在直线l上，点(2,1)不在直线l上．
[题型(二)]
[例2] 解：当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1.又l过点A(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1，即x－y＋1＝0.
当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0，
即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
因为l过点A(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，
直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
[变式拓展]
1．解：当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，又l过点A(－3，－4)，所以eq \f(－3,a)＋eq \f(－4,－a)＝1，解得a＝1.所以直线l的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－1)＝1，即x－y－1＝0.
当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，解得k＝eq \f(4,3).所以直线l的方程为4x－3y＝0.综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．解：当截距不为0时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，又l过(3,4)，∴eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，∴直线l的方程为x＋y－7＝0.
当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过(3,4)，∴4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，
∴直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
[针对训练]
3．选D 若直线l过坐标原点，则kl＝－eq \f(3,4)，此时横、纵截距都等于0，满足题意；若直线l不过坐标原点，设直线l的方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，因为直线过点B(4，－3)，所以eq \f(4,2b)＋eq \f(－3,b)＝1，解得b＝－1，所以直线方程为x＋2y＋2＝0，此时kl＝－eq \f(1,2)，故选D.
4．选ACD 当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，由题可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,|a|＝|b|，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,a＝b))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,a＝－b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))所以直线方程为x＋y－3＝0或x－y－1＝0，故A、C正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y＝kx，由题可知k＝eq \f(1,2)，故直线方程为x－2y＝0，D正确．
[题型(三)]
[例3] 选D 由题意设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，直线过P(1,1)，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，直线与坐标轴的交点为(a,0)，(0，b)，又S＝eq \f(1,2)|ab|＝4，ab＝±8，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝1，a＋b＝ab，当ab＝8时，a＋b＝8，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝8，,ab＝8，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4＋2\r(2)，,b＝4－2\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4－2\r(2)，,b＝4＋2\r(2)，))当ab＝－8时，a＋b＝－8，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝－8，,ab＝－8，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4＋2\r(6)，,b＝－4－2\r(6)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4－2\r(6)，,b＝－4＋2\r(6)，))所以直线l共有4条．
[针对训练]
5．解：依题意，设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b(a>0，b>0)，则直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，∵直线l过点M(2,1)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴S△AOB＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))ab＝eq \f(1,2)(2b＋a)＝eq \f(1,2)(2b＋a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,2b).∵a>0，b>0，∴eq \f(2b,a)>0，eq \f(a,2b)>0，∴2＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,2b)≥2＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝4，即S△AOB≥4，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＝\f(a,2b)，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2))时取等号，
∴△AOB面积的最小值为4.