高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程学案，共8页。
1.理解圆的一般方程及其特点,能进行圆的一般方程与标准方程的互化.
2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题.
1.圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0( )叫做圆的一般方程.圆心为 ,半径为 .
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
|微|点|助|解|
1.圆的一般方程形式上的特点
(1)x2,y2的系数均为1;
(2)没有xy项;
(3)D2+E2-4F>0.
2.在圆的一般方程中,系数D,E,F没有明显的几何意义,但配方后却有着明确的几何意义,−D2,−E2表示圆心,12 D2+E2−4F表示半径.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.( )
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0.( )
(4)方程x2+y2+x+1=0表示圆.( )
2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(-1,2),3B.(1,-2),3
C.(-1,2),1D.(1,-2),1
3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-22)
B.(-22,22)
C.[-22,22]
D.(-∞,-22)∪(22,+∞)
题型(一) 圆的一般方程的概念
[例1] 已知方程x2+y2+(3t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆.
(1)求t的取值范围;
(2)若圆的直径为6,求t的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.
[提醒] 在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.
[针对训练]
1.若方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0表示的曲线是圆,则实数k的取值范围是( )
A.(-6,+∞)B.[-6,+∞)
C.(-∞,6]D.(-∞,6)
2.若方程ax2+by2+bx-4y+a=0表示一个圆,则b的取值范围为( )
A.0,433B.−43,0∪0,43
C.−433,433D.−433,0∪0,433
题型(二) 求圆的一般方程
[例2] 已知圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程.
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件变为“圆过P(4,2),Q(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2”,求圆的方程.
|思|维|建|模|
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.
(3)解此方程组,求出D,E,F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.
[针对训练]
3.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-6x-6y-16=0
B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0
D.x2+y2-2x+2y-56=0
4.已知A(0,0),B(2,0),C(2,-2),O(m,-1)四点共圆,则实数m的值为( )
A.2±1B.2+1
C.2-1D.1±2
题型(三) 与圆有关的轨迹问题
[例3] 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件不变,求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
2.若本例条件变为“从定点A(6,8)向圆x2+y2=16任意引一条割线交圆于P1,P2两点”,求弦P1P2的中点P的轨迹.
|思|维|建|模|
求与轨迹问题有关的圆的方程
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
[针对训练]
5.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
课下请完成课时检测(二十四)
2．4．2 圆的一般方程
课前预知教材
1．D2＋E2－4F>0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)× 2.A 3.D
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)由题意，方程x2＋y2＋(eq \r(3)t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示圆，则满足D2＋E2－4F＝(eq \r(3)t＋1)2＋t2－4(t2－2)＝2eq \r(3)t＋9>0，解得t>－eq \f(3\r(3),2)，
即t的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，＋∞)).
(2)由圆的直径为6，可得r＝eq \f(1,2) eq \r(D 2＋E 2－4F)＝eq \f(1,2) eq \r(2\r(3)t＋9)＝3，解得t＝eq \f(9\r(3),2).
[针对训练]
1．选D 由方程x2＋y2＋2kx－4y＋k2＋k－2＝0可得(x＋k)2＋(y－2)2＝6－k，所以当r＝eq \r(6－k)>0时表示圆，解得k0，解得－eq \f(4\r(3),3)