高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程学案及答案，共7页。
[课时目标]
1.会根据圆心与半径写圆的标准方程,根据圆的标准方程得圆心与半径.
2.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系.
1.圆的标准方程
以A(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是 .
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为A(a,b),半径为r.设所给点为M(x0,y0),A,M两点间距离为d,则
|微|点|助|解|
(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.( )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )
(3)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上.( )
(4)若圆的标准方程是(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此时圆的半径一定是a.( )
2.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为( )
A.(-1,5),3B.(1,-5),3
C.(-1,5),3D.(1,-5),3
3.已知圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=12,则点A(1,6)在( )
A.圆内B.圆上
C.圆外D.不确定
4.已知圆心为(-2,1)的圆过点(0,1),则该圆的标准方程是( )
A.(x+2)2+(y-1)2=4B.(x+2)2+(y-1)2=1
C.(x-2)2+(y+1)2=4D.(x-2)2+(y+1)2=1
题型(一) 求圆的标准方程
方法1 直接法求圆的标准方程
[例1] 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
听课记录:
|思|维|建|模|
直接法求圆的标准方程
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
方法2 待定系数法求圆的标准方程
[例2] 已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),则△ABC外接圆的方程为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
待定系数法求圆的标准方程
设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,由题目给出的已知条件找到参数a,b,r的关系,列出方程组并求出a,b,r.此方法的计算量较大,应注意运算的技巧性.方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式,右端是同一常数,两式相减后可简化运算.
方法3 几何性质法求圆的标准方程
[例3] 过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
听课记录:
|思|维|建|模|
几何性质法求圆的标准方程的两种思路
(1)根据题意设出圆心坐标、半径,然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值,由此确定圆心坐标和半径;
(2)从几何的角度考虑,圆心在圆的弦的垂直平分线上,求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程,与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标,再由两点间距离公式求得半径.
[针对训练]
1.已知点A(1,-1)和点B(-1,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
A.(x+2)2+(y-4)2=5
B.(x+2)2+(y-4)2=20
C.x2+(y-1)2=5
D.x2+(y-1)2=20
2.已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x-2y-1=0的距离与半径长相等.求圆C的方程.
题型(二) 点与圆的位置关系
[例4] (1)已知a,b是方程x2-x-2=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是( )
A.点P在圆C内B.点P在圆C外
C.点P在圆C上D.无法确定
(2)已知点P(2,1)和圆C:x+a22+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a= ;若点P在圆C外,则实数a的取值范围为 .
听课记录:
|思|维|建|模| 判断点与圆的位置关系的两种方法
[针对训练]
3.点P(3,m)与圆(x+1)2+y2=9的位置关系是( )
A.在圆内B.在圆外
C.在圆上D.不确定
4.若点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,则实数a的取值范围是( )
A.(2,4)B.(-∞,2)
C.(4,+∞)D.(-∞,2)∪(4,+∞)
课下请完成课时检测(二十三)
2．4 圆的方程
2．4.1 圆的标准方程
课前预知教材
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2 2.＝ ＞ ＜
[基础落实训练]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)× 2.B 3.C 4.A
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)．又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
[例2] 解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0－a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,3－a2＋4－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3，,r2＝5，))
因此△ABC外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝5
[例3] 选C 法一 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝eq \f(1－－1,－1－1)＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x，
则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))
即圆心坐标为(1,1)，
圆的半径为eq \r(1－12＋[1－－1]2)＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二 设点C为圆心．
∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴ eq \r(a－12＋2－a＋12)＝ eq \r(a＋12＋2－a－12)，
解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
[针对训练]
1．选C 法一 因为点A(1，－1)和点B(－1,3)为直径端点，所以AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－1,2)，\f(－1＋3,2)))，即M(0,1)为圆心，由|AB|＝eq \r([1－－1]2＋－1－32)＝2eq \r(5)，则圆的半径r＝eq \f(|AB|,2)＝eq \r(5)，故圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.
法二 由题意圆的方程可以为(x－1)(x＋1)＋(y＋1)(y－3)＝0，即x2＋y2－2y－4＝0，即x2＋(y－1)2＝5.
2．解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，
设圆心为(a,6)，半径为r，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.
将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2 ①.
而r＝eq \f(|a－13|,\r(5))，代入①，
得(a－1)2＋16＝eq \f(a－132,5)，
解得a＝3，r＝2eq \r(5)，或a＝－7，r＝4eq \r(5).
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
[题型(二)]
[例4] (1)选A 由题意，得a＋b＝1，ab＝－eq \r(2)，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq \r(2)1，解得a－2.
答案：－2或－6 (－∞，－6)∪(－2，＋∞)
[针对训练]
3．选B 将点P(3，m)代入圆的方程得(3＋1)2＋m2＝16＋m2>9，则点在圆外，故选B.
4．选D 因为点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，所以(a－3)2＋(a－3)2>2，解得a>4或ar2
点M在圆内
d r
(x0-a)2+(y0-b)2