高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程一等奖教案设计

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题组一 求圆的一般方程
【例题1】（1）过三点的圆的方程为 ．
【答案】(或者写成)
【分析】待定系数法求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为，
将代入得，
，解得，
故圆的方程为.
故答案为：
（2）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程.
【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为，
所以圆的方程为，即.
故选：B．
题组二 由圆的一般方程求圆心和半径
【例题2】求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)；
(2).
【答案】(1)圆心为，半径为；
(2)圆心为，半径为3
【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，结合圆的标准方程，即可求解.
【详解】（1）解：圆，可得化为，
可得圆心坐标为，半径为.
（2）解：圆，可得化为，
可得圆心坐标为，半径为.
题组三 根据圆的一般方程求参数（值）范围
【例题3】（1）若方程表示圆，则a的取值范围为（ ）
A．RB．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案.
【详解】根据题意，若方程表示圆，
则有，解得．
故选：C.
（2）若点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果.
【详解】因为可化为，则，所以．
又点在圆的外部，所以，故，
综上，．
故选：A.
题组四 圆过定点问题
【例题4】圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【详解】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
题组五 直接法求动点的轨迹方程
【例题5】（1）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得.
【详解】设，由，所以6，
整理得，即动点的轨迹方程为.
故选：C.
（2）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（ ）
A．
B．（除去两点）
C．（除去两点）
D．（除去两点）
【答案】B
【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．
【详解】设点，
由，得，
即，
又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．
故选：B．
基础达标
1．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径.
【详解】，即，
故该圆的圆心坐标为，半径为．
故选：A．
2．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】求出圆心，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，
故选：B
3．方程表示圆的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可.
【详解】由题意可得：，解得或，
所以方程表示圆的充要条件是或.
故选：D.
4．若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若方程表示圆，
则，
解得，
又，所以或，
即程表示的圆的个数为.
故选：B
5．圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
则点到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：B
6．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为D．当时，表示的圆与轴相切
【答案】BCD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为，
可圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时半径为，所以A错误；
B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
7．已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 .
【答案】5
【分析】由圆的一般方程可得圆心，再结合两点间距离公式运算求解.
【详解】由题意可知：两圆心坐标分别为，，
所以两圆心之间的距离为.
故答案为：5.
8．已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设出点坐标，由题意计算即可得.
【详解】设，由，故，
化简得：，故P的轨迹方程为.
故答案为：.
9．若平面内两定点间的距离为2,动点满足,则的最大值为 .
【答案】
【分析】通过建立平面直角坐标系,根据距离公式可得出点的轨迹方程为圆,根据圆的几何性质得的最大值,再代入运算即可.
【详解】设,,由得即,
则
由圆的几何性质可知
所以即最大值为.
故答案为:.
10．已知曲线：．
(1)当取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；
（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得.
【详解】（1）当时，方程为表示一条直线．
当时，，
整理得，
由于，
所以时，方程表示圆.
（2）证明：方程变形为，
由于取任何值，上式都成立，则有，
解得或，
所以曲线必过定点，，
即无论为何值，曲线必过两定点．
能力提升
1．若直线l经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】整理圆的方程可得：，圆心，
倾斜角为，其斜率，
方程为：，即.
故选：B.
2．已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】设利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可.
【详解】设，则，解得，.
因为在上，所以，解得.
故选：B
3．实数满足，则的最小值为（ ）
A．3B．7C．D．
【答案】A
【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可.
【详解】化简可得，即在圆上，
则表示为圆上点到直线距离的倍，
圆心到直线距离为，
则的最小值为.
故选：A
4．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，由圆，可得，
则圆心，半径，
设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形，
其中，则，
则，所以的最大值为.
故选：D.
5．（多选）已知直线与圆，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是4
C．直线l与圆C一定相交
D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是
【答案】ACD
【分析】求解直线系经过的定点，圆的圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可.
【详解】由题意可得直线，
由，解得，则直线l过定点，故A正确；
圆，即，
则圆C的圆心坐标为，半径为2， 故B错误；
因为，则点在圆C的内部，
所以直线l与圆C一定相交，故C正确；
因为，所以圆C的圆心到直线l的距离的最大值是，故D正确.
故选：ACD.
6．已知圆的面积为，则 ．
【答案】
【分析】根据圆的一般方程得出圆的半径，然后根据已知列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆的半径.
所以，圆的面积为，
所以，，解得.
故答案为：.
7．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为 ．
【答案】
【分析】直线为线段的垂直平分线，确定线段的中点和斜率即可求出的方程为.
【详解】圆，即，其圆心，
又的圆心，
根据题意可得直线为线段的垂直平分线，
又，线段的中点，
则直线的方程为，即.
故答案为：.
直击高考
1．（2004·上海·高考真题）圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，设圆的一般方程，结合已知条件列出方程组，进而可求解.
【详解】设圆的一般方程为.
因圆心在直线上，
所以，即.①
又因点，在圆上，
所以，②
由①②，解得，，，
所以圆的一般方程为.
故答案为：.
2．（2016·天津·高考真题）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 .
【答案】
【详解】试题分析：设，则，故圆C的方程为
【考点】直线与圆位置关系
3．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可.
【详解】令，即求的最小值.
设，则，
整理，得点的轨迹方程为.
又点在圆上，
所以，解得，所以，
所以，
即的最小值为.
故选：.
4．（2024·江西九江·二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 .
【答案】/
【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解.
【详解】依题意，解得，
所以圆，即，故圆心坐标为，
即的外心坐标为，又的重心坐标为，
又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为.
故答案为：
5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知点是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（ ）
A．以线段为直径的圆周长最小值为
B．面积的最大值为
C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点
D．的最大值为25
【答案】BD
【分析】A.由，当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立求解判断；B.由求解判断；C.由若以线段为直径的圆过坐标原点，则由直径所对的圆周角为直角可得求解判断；D.设点Ax0,y0，易知，再利用数量积运算求解判断.
【详解】解：由题意知：圆的圆心，半径，点，如图所示．

易知，当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立，
故以线段为直径的圆周长最小值为，故选项A错误；，所以当时，的面积最大，最大值为，故选项B正确；
若以线段为直径的圆过坐标原点，则由直径所对的圆周角为直角可得，易知当点在轴上时，满足题意，所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故选项C错误；
设点Ax0,y0，易知，则，所以，即的最大值为25，故选项D正确，
故选：BD．